多線性奇異積分算子交換子在Morrey空間的有界性

摘要:主要考慮具有標(biāo)準(zhǔn)多線性mCalderónZygmund核的奇異積分算子與BMO函數(shù)生成的一類交換子在廣義Morrey空間上的有界性，作為推論得到了該交換子在經(jīng)典Morrey空間中的有界定理，拓廣了PerezC和TorresR的結(jié)果.

關(guān)鍵詞:多線性算子;交換子;BMO函數(shù);Morrey空間

中圖分類號:O174.2文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A

BoundedEstimationofCommutatorsofMultilinearSigularIntegralsonMorreySpaces

ZHOUJiang1，LILiang2，YILei2，CHENJinyang3

(1.CollegeofMathematicsandEconometrics，HunanUniv，Changsha，Hunan410082，China;2.DeptofMath，InstituteofAppliedMathematics，YiliNormalUniv，Yining，Xinjiang835000，China;3.CollegeofMathematicsandStatistics，HubeiNormalCollege，Huangshi，Hubei435000，China)

Abstract:TheboundednessofcommutatorsgeneratedbymultilinearsingularintegralswithmCalderónZygmundkernelsandBMOfunctionswasprovedonthegeneralMorreyspace.AnewtheoremonclassicalMorreyspacewasgivenandtheresultsofC.PerezandR.Torreswereextended.

Keywords:multilinearoperators;commutators;BMOfunctions;Morreyspace

1背景介紹及基本概念

多線性奇異積分理論最初是由Coifman等人[1]建立的，由于多線性算子理論在偏微分方程，多復(fù)變分析中有廣泛的應(yīng)用，關(guān)于此理論的研究越來越多，特別是近幾年來又有許多新的研究成果，其中Grafakos等人在文獻(xiàn)[2-5]中對多線性CalderónZygmund算子理論做了系統(tǒng)闡述.另一方面，交換子理論的研究在算子理論及偏微分方程中占有很重要的地位，Coifman等人[6]定義了一種交換子，即

Tb(f)(x)=∫Rn(b(x)-b(y))K(x，y)f(y)dy.

其中K是一個標(biāo)準(zhǔn)的CalderónZygmund核，b∈BMO(Rn)，同時證明了該交換子在Lp(Rn)(1

∫(Rn)∑mi=1bix-biyKx，y1，…，ym×f1y1…fmymdy1…dym.(1)

其中T為帶有mCalderónZygmund核的多線性CalderónZygmund算子，核函數(shù)K是定義在(Rn)m空間上的一個去掉對角線上的元素，y0=y1=…=ym，且滿足尺寸條件:

Ky0，…，yj，…ym≤

C∑mk，l=0yk-yl-mn.(2)

這里ε>0，同時滿足:

Ky0，…，yj，…，ym-Ky0，…，y′j，…，ym≤

C|yj-y′j|∑mk，l=0yk-ylmn+ε.(3)

其中0≤j≤m，|yj-y′j|≤12max0≤k≤m|yj-yk|，算子T定義為:

Tf1，…，fmx=

∫(Rn)n∑mi=1bix-biyKx，y1，…，ym

f1y1…fmymdy1…dym.(4)

函數(shù)f1，…，fm是C∞上的帶有緊支集的函數(shù)，且

x∩mj=1suppfj，BMORn空間是滿足下述條件的局部可積函數(shù)f的全體.

‖f‖*:=sup1B∫Bf(x)-fBdx<

SymboleB@ ，

其中fB:=1B∫Bf(y)dy，這里上確界取遍Rn中所有包含x的球體B，B表示B的Lebesgue測度.

設(shè)T是一個定義如式(4)的mCalderónZygmund算子，且b=b1，…，bm是一個向量值函數(shù)，每一個bj在Rn上局部可積.記f=f1，…，fm;而每一個fj都是帶有緊支集的光滑函數(shù).交換子Tb如式(1)的定義，PerezC等人[7]證明了當(dāng)b=b1，…，bm，bi∈BMORn(1≤i≤m)時，交換子Tb是Lq1×…×Lqm→Lq有界的，其中1

SymboleB@ ，

1q1+…+1qm=1q.該交換子的更多研究見文獻(xiàn)[8-9].

最近，SoftovaL[10]討論了一類廣義Morrey空間，定義如下.

定義1設(shè)ω:Rn×R→R+，1

SymboleB@ ，函數(shù)f∈Lploc(Rn)稱屬于廣義Morrey空間Lp，ω，若

‖f‖Lp，ω:=supx∈Rn，r>01ω(x，r)∫B(x，r)f(y)pdy1p<

SymboleB@ .

其中B(x，r)表示以x為球心，以r為半徑的球體.

注1若ωx，r=rn1-pq，則Lp，ω空間恰是經(jīng)典的Morrey空間，即湖南大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)2010年

第4期周疆等:多線性奇異積分算子交換子在Morrey空間的有界性

‖f‖Mqp(Rn):=supB∈RnB1q-1p∫Bf(x)pdx1p<

SymboleB@ .

因此廣義Morrey空間是經(jīng)典Morrey空間和Lebesgue空間的推廣.

在上述結(jié)果的基礎(chǔ)上，交換子(1)在廣義Morrey空間上是否有界是一個有意義的問題.本文將對該問題進(jìn)行探討并得到如下主要結(jié)論.

定理1設(shè)T是一個mCalderónZygmund算子，ωj:Rn×R→R+的函數(shù)，且存在滿足00，有

ωjx，2r≤Cjωjx，r.

又設(shè)1

SymboleB@ ，1p1+…+1pm=1p，p>1且ω1/p=∏mj=1ω1pj.若算子Tb是Lq1×…×Lqm→Lq有界的，則算子Tb是Lp1，ω1×…×Lpm，ωm→Lp，ω有界的.

作為定理1的應(yīng)用，我們得到交換子Tb在經(jīng)典Morrey空間上的有界性.

定理2設(shè)T是一個mCalderónZygmund算子，其中1≤pj≤qj<

SymboleB@ ，j=1，…，m，

1q1+…+1qm=1q，1p1+…+1pm=1p，p>1，若算子Tb是Lp1×…×Lpm→Lp有界的，則算子Tb是

Mq1p1(Rn)×…×MqmpmRn→MqpRn的有界算子.

注2多線性算子交換子在Morrey空間上的結(jié)論是新的.

2引理及主要定理的證明

在主要定理證明之前，我們需要下述引理.

引理1[11]若b∈BMORn，對0

supB∈Rn1B∫Bb(x)-mB(b)pdx1p

對Rn中的球體B及正整數(shù)m，有

mBb-m2m(b)≤2nm‖b‖*.(6)

定理1的證明不失一般性，僅需證明m=2時的情形，在證明過程中C表示與關(guān)鍵參數(shù)無關(guān)的常數(shù)，行與行之間可能不同;BC表示B相對于Rn的余集Rn;χB表示B上的特征函數(shù).

首先對交換子Tbf1，f2作如下分解:

Tbf1，f2(x)≤Tb(f1χ2B，f2χ2B)(x)+

Tb(f1χ(2B)C，f2χ2B)(x)+Tbf1χ2B，f2χ(2B)C(x)+

Tbf1χ(2B)C，f2χ(2B)C(x)=I+II+III+IV.

對于I，由算子T是Lp1×Lp2→Lp的有界性，得

1ω(x，r)∫B(x，r)Ipdy1p≤C1ω(x，r)1p×

∏2j=1∫2Bfj(yj)pjdyj1pj‖b1‖*+‖b2‖*≤

C‖f1‖LP1ω1‖f2‖LP2ω2‖b1‖*+‖b2‖*.(7)

對II，進(jìn)行分解得:

II≤b1(x)-m2B(b1)Tf1χ(2B)C，f2χ2B(x)+

b2(x)-m2B(b2)Tf1χ(2B)C，f2χ2B(x)+

Tm2B(b1)-b1(y1f1χ(2B)C，f2χ2B(x)+

Tf1χ(2B)C，(m2B(b2)-b2(y2))f2χ2B(x)=

II1+II2+II3+II4.

對II1，由x∈B，y1∈2BC，y1∈2BC，y2∈2B，故x-y1+x-y2～x-y1，根據(jù)Ho¨lder不等式及0

|H1|≤C∫Rn∫Rn

|(b1(x)-m2n(b1))||f1χ(2R)C(y1)||f2χ2B(y2)|(|x-y1|+|x-y2|)2ndy≤

C|(b1(x)-m2B(b1))|∫2Bf2(y2)dy2∑

SymboleB@ k=12k-1r-2n×

∫2k+1f1(y1)dy1≤Cb1(x)-m2B(b1)×

ω(x0，r)1pB-1p‖f1‖Lp1，ω1‖f2‖Lp2，ω2.

類似地可以得到II2的估計為:

II2≤Cb2(x)-m2B(b2)×ω(x0，r)1pB-1p‖f1‖Lp1，ω1‖f2‖Lp2，ω2.

對于II3，由式(5)，式(6)及Ho¨lder不等式，我們有

II3≤C∫R/2B∫2B

b1(y1)-m2B(b1)f1(y1)f2(y2)x-y1+x-y22ndy2dy1≤

C∫R/2B|(b1(y1)-m2B(b1))||f1(y1)|(|x-y1|)2ndy1∫2B|f2(y2)|dy2≤

C∑∞k=1‖2k+1B‖-2(∫2k+1B|(b1(y1)-m2B(b1))|p′1dy1)1/p′×

(∫2k+1B|f1(y1)|p1dy1)1/p′|2B|1-1/p2ω2(x0，r)1/p2‖f2‖Lp2ω2≤

C‖b1‖*ω(x0，r)1/pB-1/p‖f1‖Lp1，ω1‖f2‖Lp2，ω2.

類似地，有

II4≤C‖b2‖*ω(x0，r)1p×B-1p‖f1‖Lp1，ω1‖f2‖Lp2，ω2.

綜合以上計算式，結(jié)合引理1，得

1ω(x0，r)∫B(x，r)IIpdy1/p≤

C‖b1‖*+‖b2‖*‖f1‖Lp1，ω1‖f2‖Lp2，ω2.用類似地估計可得:

1ω(x0，r)∫B(x，r)IIIpdy1/p≤

C‖b1‖*+‖b2‖*‖f1‖Lp1，ω1‖f2‖Lp2，ω2.

下面證明對IV也有同樣的估計.

首先對IV進(jìn)行如下分解:

IV≤b1(x)-m2B(b1)Tf1χ(2B)C，f2χ2B(x)+

b2(x)-m2B(b2)Tf1χ(2B)C，f2χ2B(x)+

Tb1-m2B(b1f1χ(2B)C，f2χ(2B)C)(x)+

Tf1χ(2B)C，(b2-m2B(b2))f2χ(2B)C(x)=

IV1+IV2+IV3+IV4.

其次，對IV1，x∈B，y1∈2BC，y2∈2BC，故

x-y1～x-y2，根據(jù)Ho¨lder不等式，得

IV1≤C∫Rn∫Rn

b1(x)-m2B(b1)f1χ(2B)C(y1)x-y1+x-y22n×

f2χ(2B)C(y2)dy1dy2≤Cb1(x)-m2B(b1)×

ω(x0，r)1pB-1p‖f1‖Lp1，ω1‖f2‖Lp2，ω2.

同理可得:

IV2≤Cb1(x)-m2B(b1)ω(x0，r)1p×

B-1p‖f1‖Lp1，ω1‖f2‖Lp2，ω2.類似的技巧，我們也有:

IV3≤Cb1(x)-m2B(b1)×ω(x0，r)1pB-1p‖f1‖Lp1，ω1‖f2‖Lp2，ω2.

綜合上述估計，由BMO定義式簡單計算得:

1ω(x0，r)∫B(x，r)IVpdy1p≤

C‖b1‖*+‖b2‖*‖f1‖Lp1，ω1‖f2‖Lp2，ω2.

故

‖Tbf1，f2x1，x2‖Lp，ω=

sup1ω(x，r)∫B(x，r)Tb(f1，f2)(y)pdy1/p≤

C(‖b1‖*+‖b2‖*)‖f1‖Lp1，ω1‖f2‖Lp2，ω2.

定理1證畢.

定理2的證明作為定理1在ω取特殊值時的直接推論，定理2的證明略.

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