非線性二元離散神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的漸近性

摘要:針對(duì)一類具M(jìn)-P型非線性離散神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，提出當(dāng)初值設(shè)定在振動(dòng)型函數(shù)空間上時(shí)解的漸近行為問題。通過構(gòu)造解的表達(dá)式，并利用不等式技巧，結(jié)合分析方法，獲得了大閾值情形下系統(tǒng)唯一平衡點(diǎn)全局穩(wěn)定性，進(jìn)一步建立了臨界閾值情形下初值不同的解趨于不同平衡點(diǎn)的充要條件。所得結(jié)果解決了文獻(xiàn)中的相關(guān)問題。

關(guān)鍵詞:神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)非線性系統(tǒng)漸近性.

Asymptotic Behaviors for a class of Nonlinear

Discrete-Time Neural Networks with two neurons

Kaiyu LiuChengliangWang

College of Mathematics and Econometrics， Hunan University，

Changsha， Hunan 410082

Project supported Partially by NNSF of China ( No: 10971057)

Abstract The asymptotic behavior problem for a class of nonlinear discrete-time neural network model with oscillation initial function was proposed. By making the expression of solutions， global exponential asymptotic stability of the unique equilibrium was obtained if the absolute values of threshold values are large， the necessary and sufficient condictions which guarantee the solutions of the model tend to one of those equilibria respectively in the critical case were established .These results have solved relevant problems in the references.

KeywordsNeural networknonlinear systemasymptotion

在多變的生物界及工程系統(tǒng)中，信號(hào)傳輸過程存在諸如細(xì)胞時(shí)滯、傳輸時(shí)滯及突軸時(shí)滯等，常常會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定。因此，含時(shí)滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題成為近年來(lái)的熱點(diǎn)問題之一。對(duì)具有信號(hào)傳送時(shí)滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的研究，近年來(lái)更是取得了十分豐富的研究成果，見文獻(xiàn)[1-7]。然而，對(duì)于離散神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的結(jié)果并不多見，參見文獻(xiàn)[8-11]。與連續(xù)情形類似，這些結(jié)果均是將初值設(shè)定在非振動(dòng)型函數(shù)空間之上而獲得的。由于信號(hào)傳輸過程的復(fù)雜性我們有必要作進(jìn)一步深入探討。本文，我們特別研究具有振動(dòng)型初始函數(shù)的離散神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的漸近行為。這里討論具負(fù)反饋的二元離散神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型(正反饋情形可作類似討論).

考慮下列具負(fù)反饋二元離散神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

(1)

其中 是衰變常數(shù)， 且 是不連續(xù)函數(shù)

(2)

式中 ，且閾值 .

事實(shí)上，系統(tǒng)(1)可以看作是下列系統(tǒng)的離散化

(3)

其中 表示衰減系數(shù).滿足(2).

設(shè)Z表示所有整數(shù)集合。對(duì)于任意 且 ，定義

及 . 方程`(1) 的解， 指的是對(duì)一切的 ，上對(duì)所有 滿足(1)的點(diǎn)集 . 設(shè) . 顯然， 對(duì)任意初值 ，方程(1)有唯一解 ，滿足初始條件 ，，( ).

考慮這些初值

，

其中，，式中

及.

1非線性二元離散神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)

為方便起見，引入如下記號(hào).

對(duì)給定的 ，讓 為一非正整數(shù)集合 滿足 ， ， ，且對(duì)所有的 有 ，又對(duì)給定的 ，讓 ，且設(shè) 及 . 這里，若 為奇數(shù)， ; 若 為偶數(shù)， . 再結(jié)合 定義一個(gè)數(shù)列 如下:

顯然，對(duì)任意一個(gè) ，在 上對(duì)應(yīng)唯一 ，且滿足 ，對(duì)所有 及 ().

為簡(jiǎn)便，將 記作 ，即 .

引理 1 設(shè) 為模型(1)具有初值 的解， 則

(i) 當(dāng) 時(shí)， 有

(4)

當(dāng)且 時(shí)，有

(5)

(ii)當(dāng) 時(shí)，有

(6)

當(dāng) 及 時(shí)，有

(7)

2 二元神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的漸近性

定理2若 且 ，則當(dāng) 時(shí)，模型(1)的解 .

證明考慮四種可能情形:(a)(b)(c)(d)，

證明略.

定理 3 設(shè) 及 ，則當(dāng) ，有 ，或 ，并且 的充要條件是下列情形之一成立.

(A);(B)且;(C)且 ;(D)且及

，(8)

其中 且滿足

，

這里 ，使得

(9)

成立的唯一正整數(shù); 另一方面 的充要條件是下列情形之一成立:

(E) 及 ; (F) 及 ，且

， (10)

其中 和 的意義如(9).

證明:下面，我們分幾種可能情形來(lái)證明定理.

情形(i)

由(5)和(7)可推出 時(shí)， .

情形(ii)

由(5)和(6)可推出 時(shí)， .

情形(iii)

設(shè) ， 則由(4)及(7)，當(dāng) 時(shí)，有

分兩種情形: 與 ，均得到:當(dāng) 時(shí)， .

情形(iV).且.

首先，我們證明在這種情形下，必存在一個(gè)正整數(shù) ，當(dāng) ，使得 .于是，對(duì) ，可導(dǎo)出

由此，利用與情形(ii)類似的推導(dǎo)，當(dāng) 時(shí)，有 .

情形(v).及 .

顯然有 .另外，由(4)可知 ， .讓 ，使得 ，且 ，對(duì)一切 .顯然 ，于是必存在唯一的 使得 ，由(4)可得

.(11)

從而， 必為偶數(shù). 不妨設(shè) ， 可證 ， 且 滿足(9). 于是由(11)有

.

令 ，則 . 當(dāng) 時(shí)，我們得到

.

利用與情形(iii)一個(gè)類似的推導(dǎo)并結(jié)合(8)，得 時(shí)，，由(10)得 . 基于上述討論，證明的余下部分顯然，因而省去. 定理證畢.

3 結(jié)論

二元神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)是大系統(tǒng)的基礎(chǔ)。而神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)穩(wěn)定性研究由于其在生物界及工程界等實(shí)際領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，一直成為人們關(guān)注的研究課題。本文討論非線性二元離散神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，通過構(gòu)造解的表達(dá)式，克服研究振動(dòng)型初值解的漸近行為分析中遇到的困難， 較全面分析了由于初值符號(hào)的改變所引起的解的漸近性質(zhì)的改變，得到了一些新的結(jié)果. 結(jié)果表明:在大閾值情形，系統(tǒng)的唯一是全局指數(shù)漸近穩(wěn)定的;而對(duì)臨界閾值情形，進(jìn)一步獲得了系統(tǒng)趨于不同平衡點(diǎn)的充要條件.

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