擬非擴張映射和平衡問題的弱收斂定理

摘要:研究求解擬非擴張映射不動點和平衡問題的公共解問題。構造出了求解平衡問題和擬非擴張映射不動點的公共解的迭代算法，在較弱的條件下，證明了該迭代序列唯一弱收斂到所研究問題的某一公共解，并且該迭代序列在公共解集上的投影強收斂到該公共解。通過證明非擴張映射是滿足定理條件(B)的擬非擴張映射，得到一個推論，即非擴張映射不動點與平衡問題的公共解的迭代算法及算法的弱收斂性結果。進一步，給出了例子說明存在滿足本文條件(B)的擬非擴張映射，同時該映射不是一個非擴張映射。Tada和Takahashi (.J. Optim. Theory Appl.， 2007， 133: 359-370) 論文中的一個主要結果(定理4.1)僅是本文定理的一種特殊情況。

關鍵詞:平衡問題; 非擴張映射;擬非擴張型映射;不動點;弱收斂

中圖分類號:文獻標識碼:A

A Weak Convergence Theorem for a Quasi-nonexpansive mapping and an Equilibrium Problem

Bai Minru#8224;， Sheng Xia

(College of Mathematics Econometrics， Hunan Univ， Changsha 410082，China)

Abstract: The aim of this paper is to study an iterative method for common solutions of an equilibrium problem and a fixed point problem of a quasi-nonexpansive mapping. It is proposed an iterative method for finding a common solution of an equilibrium problem and fixed point problem of a quasi-nonexpansive mapping. It is proved that the iterative sequences convergent weakly to a common solution of the problems mentioned above. It is also proved that projections of the iterative sequences onto the set of common solutions of the above problems convergent strongly to the common solution. By proving that nonexpansive mappings are quasi-nonexpansive mappings satisfying condition (B) of the theorem， it is obtained that iterative sequences convergent weakly to a common solution of an equilibrium problem and a fixed point problem of a nonexpansive mapping. Furthermore， an example is given to show that there exists a qusi-nonexpansive mapping， which satisfies condition (B) but is not a nonexpansive mapping. The results take a main result (Theorem 4.1) of Tada and Takahashi (.J. Optim. Theory Appl.， 2007， 133: 359-370) as a special case.

Key words: Equilibrium problem; Nonexpansive mapping; Quasi-nonexpansive mapping; Fixed point; weak convergence

令 是Hilbert空間，且有范數 和內積 ， 是 的一個非空閉凸子集.是一個映射，其中 是實數集.

平衡問題即找一點 使得 .(1)

式(1)的解集我們記作 .科學工程和經濟中的許多問題也都可以歸結為找平衡問題的一個解 [1-3].

若映射 滿足

，

則稱 為非擴張映射(nonexpansive mapping).如果對任意 ，都滿足 ，其中 ，則稱 為擬非擴張映射(quasi-nonexpansive mapping).

擬非擴張映射是非擴張映射的重要推廣:滿足 的一個非擴張映射 是擬非擴張型映射.但是反之不一定成立. 在圖像和信號處理的計算中有著重要應用的次梯度投影(subgradient projection)就是一個擬非擴張映射，而不必是非擴張映射[4].

對于平衡問題，當 非空時， 文獻[5]引入了一個迭代方法來找近似解并得到了一個強收斂定理.

最近， Tada和Takahashi[6] 把平衡問題和非擴張型映射的不動點問題相結合，構造了算法

逼近以上兩個問題的公共解，證明了該迭代產生的序列弱收斂到其一個公共解.

近年來，對于非擴張映射的研究特別活躍，已經將非擴張映射不動點問題的研究拓廣到擬非擴張映射甚至漸進擬非擴張映射(asymptotically quasi-nonexpansive mapping) 的情形 [7-8]。但是，對于混合問題，例如平衡問題與非擴張映射不動點的公共解問題，目前研究還僅僅局限于非擴張映射情形[6].

本文主要目的是研究比非擴張映射情形更廣泛的擬非擴張映射不動點與平衡問題的公共解問題。我們構造了求解平衡問題和擬非擴張型映射不動點的公共解的迭代算法，在較弱條件下，證明了該迭代序列唯一弱收斂到所研究問題的某一公共解，并且該迭代序列在公共解集上的投影強收斂到該公共解。文獻[6]中的定理4.1僅僅是本文的一種特殊情況。

1預備知識

引理1[1]給定 滿足不等式 當且僅當 .其中 是z在閉凸子集 上的投影.

引理2(Opial條件)[10]對任意的序列 ，設 弱收斂于 ，則對 及 成立

.

引理 3[9] 令 是實Hilbert空間， 是 的非空閉凸子集， .假設對 ，，

則序列 強收斂到某一 .

引理 4[11] 設 是一實數序列使得對于所有的 滿足 如果存在某一常數 使得序列 和 滿足 那么

對于平衡問題 ，我們假設 滿足下面的條件:

(A1);

(A2)是單調的，即

;

(A3) 對

;

(A4) 對 是凸下半連續映射.

引理5[12]設 是 的非空閉凸子集，映射 是 滿足(A1)-(A4).令 ，那么，存在 ，使得

.

引理6[5]假設 滿足(A1)~(A4)，令 ，定義映射 如下:

.則我們有如下結論:

1)是單值的;

2)是嚴格非擴張映射，即對

3);

4)是閉凸集.

2主要結果

定理1令 是實Hilbert空間 的非空閉凸子集。設映射滿足條件(A1)-(A4)， 擬非擴張映射 滿足條件(B):

并且 .和 是由初始點 產生的序列:

(2)

如果對所有的 ，

，

那么 唯一弱收斂到某一 ，并且 強收斂到 .

證明:令 ，是由引理2.6所定義的序列.那么 ， 且

因此，，

由(2)及 的擬非擴張性，我們有

故 是遞減有界序列，于是存在常數 ，使得 .(3)

所以， 都是有界數列并且 . (4)

式(3)和式(4)表明 ( ).

因為 是有界數列，所以存在子列 弱收斂到 .由于，故 也弱收斂到 .

下面我們證明 .首先證明 由S的擬非擴張性可知

(5)

另外

根據引理4，上式及式(5)，可知

. (6)

根據條件(B)，式(6)以及 弱收斂到 可知 .

下面我們證明 .

由(2)，我們有

根據(A2)，

，

因此.

由于 及(A4)，我們有 .

由 ，我們令 .因為 ，則 ，因此

根據(A1)及(A4)，我們有，

故 .由(A3)， ，因此， .

綜上所述，我們證明到 .下面證明唯一性。

設 的另一子列 ，使得 弱收斂于 .那么 .下面用反證法證明 .

假設 ，那么由Opial條件，有

產生矛盾.因此， .所以 弱收斂到 .

由 及引理2.1，我們有

因 是擬非擴張映射，故 是非空閉凸集[12，Proposition2.3，2.6(ii)].再由引理6 (4)， 得到 是非空閉凸集.根據引理3， 強收斂到某一 .因為 弱收斂到 ，則有

，

因此 .

證畢.

特別的，當 是非擴張映射時，我們得到如下推論，即文獻[6]中的定理4.1.

推論1令 是實Hilbert空間 的非空閉凸子集。設映射滿足(A1)-(A4)， 非擴張映射 滿足是由初始點 產生的如下序列:

如果對所有的 ，

那么 弱收斂到 ，并且 強收斂到 .

證明:我們只需證明，非擴張映射S滿足條件(B)。假設條件(B)的結論不成立，即 由于Hilbert 空間H滿足Opial條件，因此

產生矛盾。因此假設不成立，即非擴張映射S滿足條件(B)。根據定理3.1， 結論成立。

證畢.

如果空間H 為有限維空間，我們則可以得到如下的強收斂結果。

推論2令 是有限維空間 的非空閉凸子集.映射 是 滿足(A1)-(A4)，是連續的擬非擴張映射，并且 ， 是由初始點 按如下方式產生的序列:

如果對所有的 ，

那么 強收斂到某一 .

證明: 在有限維空間， 弱收斂等同于強收斂， 容易證明， 如果 S 是連續的， 那么它一定滿足條件(B)， 其它仿照定理1的證明即可。

證畢.

注 推論2 表明， 定理1中的條件(B) 很容易滿足。我們也可以找到一個這樣的例子，它是滿足定理1條件(B)的擬非擴張映射，而不是非擴張映射。

例 定義 為 ，

則 是一個連續的擬非擴張映射，滿足條件(B)，且 ，但 不是非擴張映射([4]).

3結 論

本文研究了Hilbert空間中擬非擴張映射不動點與平衡問題的公共解問題， 構造了求解平衡問題和擬非擴張映射不動點的公共解的迭代算法，證明了該迭代序列唯一弱收斂到所研究問題的某一公共解，并且證明了該迭代序列在公共解集上的投影強收斂到該公共解。通過證明非擴張映射是滿足定理條件(B)的擬非擴張映射，得到一個推論，即非擴張映射不動點與平衡問題的公共解的迭代算法及算法的弱收斂性結果。進一步，給出了例子說明存在滿足本文條件(B)的擬非擴張映射，同時該映射不是一個非擴張映射。這充分說明所作的研究是有意義的。

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