拉索預應力球面巨型網格結構靜力性能優化分析

摘要: 針對拉索預應力球面巨型網格結構的靜力優化問題，提出對拉索預應力、立體桁架梁高度、桿件截面的三級優化法，對各變量分別采用不同的目標和方法進行逐級優化。對桿件截面優化以結構自重為目標函數并采用滿應力法;立體桁架梁高度通過結構內力峰值和撓度比兩項指標予以確定;優化拉索預應力時，采用結構桿件內力的平方和最小為目標函數建立數學模型，并運用影響矩陣線性優化法和復形法求解。文中對一個180 m跨度的結構，提出了5種不同的布索方案，并基于以上理論，進行了優化分析。結果表明，實際工程采用沿周邊布索方案為佳。同時優化分析結果也證明了本文采用的優化分析方法和編制的程序是高效可行的。

關鍵詞:預應力;球面巨型網格結構;三級優化;靜力性能;布索方式

Optimizing Analysis on Static Behaviors of Pretensioned Spherical Reticulated Mega-Structure

HE Yong-jun1#8224;，ZHOU Jia-wei1，ZHOU Xu-hong1，2

( 1.College of Civil Engineering， Hunan Univ ， Changsha ， Hunan 410082， China;

2.Lanzhou Univ ， Lanzhou， Gansu 730000， China )

Abstract: To optimize the static behaviors of the prestressed spherical reticulated mega-structure， a three-grade optimization method is presented， in which the member cross section， height of 3D-trussed beam， and the cable prestress are all considered. Different objects and methods are applied in the process of optimization. The full-stress method is adopted to optimize the member cross section aiming for the minimum structural self-weight. The optimal height of 3D-trussed beam is determined accounting for both the peak value of internal forces and structural deflection. As to the optimization of prestress， the minimum sum of internal forces squared is taken as the objective function， and the influence matrix and complex methods are adopted to solve. For the structure with span of 180m， five arrangement styles of cables are presented in this paper， and optimization analysis is carried out based on the above-mentioned method. The results show that the cables should be arranged along the perimeter of the structure. In addition， the effectiveness and feasibility of the theories and program are validated.

Key words: prestressing; spherical reticulated mega-structure; three-grade optimization; static behaviors; arrangement styles of cables

隨著社會經濟的發展，人類生活水平的提高，空間結構得到了長足的發展。其中拉索預應力球面巨型網格結構是一種將預應力和球面巨型網格結構[1]相結合的新型空間結構，它將徑向和環向立體桁架交叉構成球面巨型網格主體結構，并在大網格內布置普通網格子結構，再在主體結構中布置拉索并施加預應力，以充分利用鋼材強度，提高結構的承載力，控制結構變形，降低工程造價。目前，很少有文獻對該體系進行研究，本文將重點進行其靜力性能優化分析。

結構優化分析主要是為了節省鋼材、降低造價，并獲得最佳的力學性能。對拉索預應力球面巨型網格結構進行優化分析的目的同樣在于尋求安全、經濟的結構形式。而結構形式涉及截面優化、形狀優化和布局優化等，從預應力角度來看還包括利用拉索施加的最佳預應力值和最佳布索方式的選擇。針對此三個方面的優化，很多文獻[2-4]都有涉及，而直接建立數學模型進行拉索布置優化分析的文獻還未曾見到。在實際工程中一般都是依據設計者的經驗或者選取多種方案進行比較來選擇一種最優方案。本文提出5種可能的布索方式，進行對比以選取最優方案，并考慮以拉索的初始應變、立體桁架梁高度、桿件截面為設計變量，對該結構進行三方面的優化分析。

1 拉索預應力球面巨型網格結構三級優化法

從相關文獻[2，5，6]可以看出，對拉索預應力球面巨型網格結構進行優化分析存在以下特點:1)預應力應作連續變量處理，而截面應作離散變量處理，屬于混合變量的優化問題;2)預應力變量和截面變量在數值大小和性質上存在很大的差異，求解時矩陣的病態會影響優化算法的收斂性;3)求解變量多、解題規模大;4)立體桁架梁高度將制約預應力對結構的作用效果。由此可見，如果同時對所有的設計變量進行優化，很難建立合適的優化方法，并很難保證優化過程的收斂性，優化得到的結果也很不可靠。因此采用三級優化法將三類變量進行逐級處理。

1.1 三級優化法的思路

針對目前預應力網格結構優化分析方法存在的不足，提出三級優化法對拉索預應力球面巨型網格進行研究，其具體思路如下:

1)第一級優化優化:按照設計經驗初步確定各桿件截面、立體桁架梁高度，以拉索的初始應變為設計變量，采用桿件內力的平方和最小為目標函數進行索力優化，依據預應力優化后的結構靜力性能，選擇最優布索方案;2)第二級優化:由第一級優化得到的最優布索方式，綜合結構撓度和結構桿件內力峰值兩方面因素確定立體桁架梁最優高度;3)第三級優化:在第一、二級優化的基礎上，以各桿件截面為設計變量，以結構自重為目標函數，采用滿應力法進行桿件截面優化。

1.2三級優化法的主要步驟

1.2.1 拉索預應力取值優化

1)目標函數:施加預應力的目的是為了調整結構的應力峰值，提高結構的承載力，使結構受力更加合理。因此，文獻[7-8]提出以結構的應變能為索力優化的目標函數，而本文采用施加預應力后結構桿件內力的平方和最小為目標函數同樣能夠達到相當的優化效果，而且可以簡化目標函數，減少計算量，故目標函數如下:

.(1)

式中: 為拉索的數量; 為結構桿件數量; 為各拉索的初始應變; 分別為結構第 根桿件左右兩端彎矩; 為結構第 根桿件的軸力。

對于拉索預應力球面巨型網格結構，其桿件以受拉和受壓為主，彎矩可忽略，則目標函數可以進一步簡化為:

.(2)

用向量表示為:

. (3)

式中: 為 維桿件軸力向量 。

2)約束條件:拉索初始應變上、下限約束為

. (4)

3)求解方法:

a. 影響矩陣線性優化法利用文獻[8-9]引入影響矩陣的概念可得:第 根拉索產生單位初始應變，軸力的變化向量記為 ， 根拉索分別產生單位初始應變，形成 個影響向量依次排列組成的影響矩陣記為:

= .(5)

采用線性疊加原理，當全部拉索都產生設計初始應變后， 個桿件的軸力向量可表示為

.(6)

式中: 為拉索產生初始應變前的軸力向量; 為結構拉索的初始應變向量。

將式(6)代入式(3)中可得

.(7)

要使結構桿件軸力的平方和最小，則有

，. (8)

由式(7)和(8)可得 . (9)

式中: ，其中1為該向量的第 個元素。因此由式(8)可得

. (10)

因此，只要求解該線性方程就能得到拉索的初始應變值，從而計算得拉索的預應力值。根據以上思想采用APDL編制了相應程序，用于預應力的線性優化。

b. 復形優化法為了驗證影響矩陣線性優化法的可靠性，本文同時采用比較常用的復形法求解目標函數 在約束條件下的極小值。復形法是一種常用的直接搜索法，是用于解決有約束條件的非線性規劃問題的有效方法之一。其基本步驟是首先在 維設計空間中構成頂點數 大于 的多面體——復形，然后搜索(包括反射、延伸和收縮)既能使目標函數值有所改善又滿足約束條件的新點，替代復形各頂點中目標函數值最大的點——最差點，如此反復進行，使復形逐步縮小， 直到滿足收斂條件為止，最終達到優化目標。

1.2.2 立體桁架梁高度優化

考慮到立體桁架梁高度控制結構剛度，而結構原有剛度又將直接影響預應力的作用效果，因此引入撓度比d來反映預應力對結構剛度的作用效果，并引入高度因子 來體現立體桁架梁高度，其表達式如下:

，(11)

.(12)

式中: 和 的具體含義見圖1; ， 分別為結構布索和不布索時的最大撓度。

由于直接建立相應的數學模型進行立體桁架梁高度優化比較困難，因此為了得到其最優值，本文將采用參數分析方法，即通過取一系列離散值進行比較來確定其最優高度:先調整結構的高度因子 得到該結構的不同形式;然后以第一級優化方法得出該結構不同形式的拉索初始應變，并計算出與高度因子相應的撓度比和結構內力峰值，用以確定它們之間的變化關系;最終根據撓度比和結構桿件內力峰值兩項指標選取其最優高度。

1.2.3 桿件截面優化

1)目標函數:對于截面優化，一般采用結構桿件總體積為目標函數，即

.(13)

式中: 為結構桿件總體積; 為桿件的截面面積; 為桿件長度。

2)約束條件:截面優化的約束條件包括桿件材料強度約束、剛度約束、桿件截面上下限約束、結構撓度約束等。

3)求解方法:在截面優化分析中，通常采用滿應力法，然而在實際工程中，可選用的截面是有限的，即應采用離散變量的優化設計方法進行設計。由于考慮到拉索預應力空間結構優化問題的求解速度，在工程設計中還是采用滿應力法，但是桿件應力和結構位移的控制作用不能忽視，因此直接使用滿應力法不符合優化分析前提條件，應采用考慮強度和撓度約束的滿應力分析法。

2 結構優化分析

本文研究對象為肋環型拉索預應力巨型球面網格結構，跨度為180 m，矢跨比為 ，內徑為25 m;結構在徑向分為 區，在環向分為 區;桁架梁高度因子 取0.15，結構中索桿總數為 根，桿件的彈性模量 ，截面面積，拉索的彈性模量 ，拉索截面面積 。最大限制位移為結構跨度的 。對結構施加 的豎向均布荷載。本文結合該結構實際情況提出5種可能的布索方式，如圖1所示。

2.1拉索初始應變優化及最佳布索方式選擇

采用編制的程序對拉索預應力球面巨型網格結構進行預應力優化分析，得到5種布索方式的拉索初始應變值，見表1。由表1可知，影響矩陣法和復形法得到的初始應變相差不大;每種布索方式中相互對稱的拉索的初始應變相差也不大，初始應變的差別主要是由計算誤差和結構底部每處的支座不完全相同造成的。由此證明了影響矩陣線性優化法的可靠性。由于采用影響矩陣線性優化法的計算量要比復形法小得多，因此，在實際工程中建議采用影響矩陣線性優化法。

考慮到該結構以徑向受力為主，因此選取徑向桿件反映結構的受力性能。通過影響矩陣線性優化法得到上述5種布索方式的拉索最優初始應變，在其作用下徑向上、下弦桿的內力分布如圖2所示。

由圖2可以可得:1)預應力對結構的大多數上、下弦桿都能起到卸載效應;2)在以上5種布索方式中桿件內力都比不布索時要小;3)在A和D兩種方式中預應力的卸載效果不是很明顯;但在B，C和E三種方式中上、下弦桿的內力明顯較小，而且內力分布更加均勻。這說明在B，C和E3種方式中，預應力能夠更好的工作，桿件受力也更加合理。因此建議采用B，C和E三種方式;考慮到在實際工程中施工方便，采用方式B最佳。

另外，分析發現:腹桿對預應力的作用不敏感，并且與上、下弦桿相比，腹桿內力相對較小且基本上以正負交替的形式出現(其內力分布圖略)。

2.2立體桁架梁高度優化

根據2.2.2節的優化思路，得到高度因子 與撓度比d和結構桿件內力峰值的變化關系如圖3和圖4所示。

可以看出:1)撓度比d隨高度因子 增大而明

顯增大，這主要是由于高度因子的增加導致結構整體剛度加強;2)相對于其他高度因子，當 為0時(該結構為單層)結構內力峰值明顯偏大;3)結構內力峰值隨高度因子 增大有所減小，且當 取0.2~1.0時，與撓度比d相比內力峰值的變化幅度較小。從結構受力角度考慮，撓度比d越小說明預應力對結構的作用效果越好;而結構內力峰值越小則結構桿件受力越均勻，結構的受力性能就越好。綜合以上兩方面因素，高度因子選擇在0.4~0.6的范圍之間比較合適，根據經驗在一般情況下 取0.5比較適宜。

2.3桿件截面優化

依據第一級和第二級優化方法得到的最優布索方式(即方式B)、拉索初始應變和立體桁架梁最優高度，對桿件截面進行優化分析，分析比較無拉索、有拉索無預應力和有拉索施加預應力3種情況，結果見表2。

可以看出，在球面網殼結構中，布索和施加預應力對降低結構的用鋼量非常有利。

3 小 結

針對拉索預應力巨型球面網格結構的靜力優化問題，提出對拉索預應力、立體桁架梁高度、桿件截面的三級優化法，對各變量分別采用不同的目標和方法進行逐級優化。并采用ANSYS編程語言APDL編制了相關程序，分析表明本文所采用的方法和程序高效可行，同時可得相關結論如下:

1) 本文提出的5種布索方式，可分為沿徑向和沿環向布索兩種類型，分析表明沿環向布索的靜力性能要優于沿徑向布索。

2) 預應力不僅能夠較好地改善結構上弦桿和下弦桿的靜力性能，而且可以使結構的用鋼率得到較大幅度的降低。

3) 立體桁架梁高度影響預應力對結構剛度的作用效果。

4) 在研究預應力取值問題時，采用結構桿件內力的平方和為目標函數，并運用影響矩陣線性優化法進行優化求解，可以使計算量相對減少，而且效率也較高。

5) 分別采用桿件內力的平方和最小、結構內力峰值、撓度比、結構桿件總體積為指標進行優化，能使預應力的作用效果、結構受力性能等均達到最佳，而且結構用鋼量最低，具有重要的工程實際意義;對各變量分別采用不同的目標和方法進行逐級優化，也避免了它們在性質上和數值上互不統一而帶來的求解矩陣病態的問題。

參考文獻

[1] 賀擁軍，李佳，周緒紅.球面巨型網格結構的構成、支撐方式與力學模型[J].湖南大學學報:自然科學版，2007，34(3):11-14.

HE Yong-jun， LI Jia， ZHOU Xu-hong. Research on the form， support styles and mechanic model of spherical reticulated mega-structure[J]. Journal of Hunan University: Natural Sciences， 2007， 34(3):11-14.(In Chinese)

[2] 鄧華，董石麟.拉索預應力空間網格結構的優化設計[J].計算力學學報，2000，17(2):207-213.

DENG Hua， DONG Shi-lin. Optimal design of pretensioned lattice structures[J]. Chinese Journal of Computational Mechanics， 2000， 17(2) : 207-213. (In Chinese)

[3] 張愛林，楊海軍. 預應力索-桁架形狀優化設計[J]. 計算力學學報，2007，24(1):43-45.

ZHANG Ai-lin， YANG Hai-jun. Shape optimization design of prestressed cable-truss structures[J].Chinese Journal of Computational Mechanics， 2007， 24(1): 43-45. (In Chinese)

[4] 王新堂.拉索式空間預應力鋼桁架優化比較與方案討論(之一)[J].空間結構，2001，7(4):56-63.

WANG Xin-tang. Optmum analysis of spatial cable-prestressed steel trusses and plan comparison (part one) [J]. Spatial Structures， 2001，7(4) : 56-63.(In Chinese)

[5] 王新堂.單次張拉預應力空間立體鋼桁架的歸并優化設計[J].空間結構，2004，10(1):16-20.

WANG Xin-tang. Standardized optimization of the cable-prestressed spatial steel trusses[J]. Spatial Structure， 2004， 10(1): 16-20. (In Chinese)

[6] PERMYAKOV V A， REMENNIKOV A M. General purpose for steel structures optimization design [J].Comp Struc， 1992， 6: 1155-1164.

[7] 馮健，張耀康.預應力斜拉網格結構的靜力優化分析[J].東南大學學報:自然科學版，2003，33(5):583-587.

FENG Jian， ZHANG Yao-kang.Static optimizing analysis of prestressed cable- stayed space truss Structure[J]. Journal of Southeast University:Natural Science Edition， 2003， 33(5):583-587.(In Chinese)

[8] 肖汝誠，項海帆. 斜拉橋索力優化的影響矩陣法[J]. 同濟大學學報，1998， 26(3): 235-240.

XIAO Ru-cheng， XIANG Hai-fan. Influence matrix method of cable tension optimization[J]. Journal of Tongji University， 1998， 26(3) : 235-240. (In Chinese)

[9] 肖汝誠，郭文復. 結構關心截面內力、位移混合調整計算的影響矩陣法[J].計算結構力學及其應用， 1992，9(1):91-99.

XIAO Ru-cheng， GUO Wen-fu. Influence matrics method for structural adjustment calculation of internal forces and displacements of concern sections[J]. Computational Structural Mechanics and Application， 1992， 9(1): 91-99. (In Chinese)