長(zhǎng)距離高精度GPS跨障礙高程傳遞的進(jìn)一步研究

摘要:基于垂線偏差與高程基準(zhǔn)無(wú)關(guān)的性質(zhì)，由GPS水準(zhǔn)實(shí)施垂線偏差的低通濾波，并精確估計(jì)其二次變化率，最終實(shí)現(xiàn)無(wú)重力數(shù)據(jù)的長(zhǎng)距離、高精度跨障礙高程傳遞。對(duì)新方法的濾波及擬合過(guò)程進(jìn)行數(shù)值分析，并將其截?cái)嗾`差轉(zhuǎn)換為頻域表達(dá)形式，再通過(guò)球諧函數(shù)建立代表誤差與重力場(chǎng)階方差的關(guān)系式。考慮到局部重力場(chǎng)的高頻甚高頻差異，根據(jù)Graaff Hunfer經(jīng)驗(yàn)公式和不同地形類別的代表誤差統(tǒng)計(jì)值，將Tscherning-Rapp模型改造為區(qū)域階方差模型，以精確估計(jì)具體地形條件下的代表誤差。杭州灣大橋跨海高程控制測(cè)量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與模擬分析一致:31 km跨海高程傳遞成果與獨(dú)立的一等幾何水準(zhǔn)比較，最大較差19 mm，優(yōu)于二等幾何水準(zhǔn)精度。

關(guān)鍵詞:跨障礙高程傳遞;天文GPS水準(zhǔn);垂線偏差;高程異常;代表誤差

中圖分類號(hào):U442，U452，P223文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

Further studies for precise long-distance GPS height transference across obstacle

XU Xi 1，2，ZHU Jian-jun 2，LI Li 1，YANG Wen-ya 3

(1. College of Civil Engineering， Hunan Univ， Changsha， Hunan 410082， China ;

2. College of Information Physics Engineering， Central South Univ， Changsha， Hunan 410083， China;

3. Hunan Capital Group， National Geological Exploration Center of Building Materials Industry， Zhuzhou ， Hunan412000 ， China)

Abstract: Based on independence of vertical deflection and height datum， a new method is offered for precise long-distance height transference across obstacle without gravity data， in which GPS leveling becomes a low-pass filter for vertical deflection and its second order change rate is evaluated accurately. Numerical analysis is done for filtering and fitting in the new method， and its truncation error is converted into frequency domain. Consequently， the correlation is acquired between representation errors and geopotential degree-variances through spherical harmonic expansion. Considering the difference of regional earth’s gravity fields in high and very high frequency band， the Tscherning-Rapp model is modified as regional geopotential degree-variance model in order to evaluate accurately representation errors corresponding to all kinds of topography， by using “Graaff Hunfer” experiential formula and statistical coefficients of representation errors with topographic classifications. The experiment of height control survey across 31km width was done for Hangzhou Bay Bridge. The result was in accordance with the simulation. It was compared with the first order leveling， and the maximum difference was 19mm. The precision was higher than the second order leveling.

Key Words: height transference across obstacle， GPS astronomic leveling， vertical deflection， height anomaly， representation error

以“天文GPS水準(zhǔn)”實(shí)施長(zhǎng)距離跨障礙高程傳遞(10 km以上)的可行性已得到驗(yàn)證[1]。與各種(似)大地水準(zhǔn)面區(qū)域精化方法[2-4]相比，其主要優(yōu)勢(shì)在于無(wú)需地面重力數(shù)據(jù)的支持，這與長(zhǎng)距離高程傳遞的“低分辨率、高精度”特點(diǎn)相適應(yīng)。采用“天文GPS水準(zhǔn)”的杭州灣跨海高程傳遞實(shí)驗(yàn)(距離31 km，誤差3 cm[1])，與采用區(qū)域精化方法實(shí)施的歐洲Aland群島(距離37 km，誤差4 cm[5])、Great Belt海峽聯(lián)絡(luò)線(距離20 km，誤差4～5 cm[6])、我國(guó)東海大橋(距離30 km，誤差1～6 cm[7])等跨海高程傳遞相比，精度相當(dāng)而成本低廉，其實(shí)質(zhì)是以低分辨率的GPS水準(zhǔn)實(shí)現(xiàn)區(qū)域重力場(chǎng)低頻參數(shù)的高精度測(cè)量。

新一代衛(wèi)星重力測(cè)量技術(shù)(SST，SGG)的出現(xiàn)為全球高程基準(zhǔn)的統(tǒng)一提供了全新技術(shù)手段，但受衛(wèi)星軌道高度的限制，該技術(shù)在數(shù)十公里范圍內(nèi)的相對(duì)精度仍難以滿足精密測(cè)量的要求。以GOCE(Gravity Field and Steady-State Ocean Circulation Explorer Mission ——地球重力場(chǎng)與穩(wěn)態(tài)洋流探測(cè)任務(wù))為例，根據(jù)模擬計(jì)算，該技術(shù)在全球范圍內(nèi)的高程傳遞精度約為6 cm[8]，這對(duì)于30 km以內(nèi)的高程傳遞并不具備精度優(yōu)勢(shì)。

天文水準(zhǔn)是一種直接而簡(jiǎn)單的(似)大地水準(zhǔn)面確定方法，結(jié)合GPS所測(cè)大地高差即可實(shí)現(xiàn)跨障礙高程傳遞[1]，但由于垂線偏差的能譜結(jié)構(gòu)以中高頻占優(yōu)，導(dǎo)致天文水準(zhǔn)的代表誤差過(guò)大。以我國(guó)的天文大地網(wǎng)為例，20 km短邊的天文水準(zhǔn)精度僅為±7 cm/km[9]，無(wú)法滿足高精度測(cè)量的要求。“天文GPS水準(zhǔn)”以GPS水準(zhǔn)直接測(cè)得的大地水準(zhǔn)面高或高程異常對(duì)垂線偏差實(shí)施低通濾波，并精確擬合其二次變化率，由此大幅降低代表誤差[1]。本文在前期研究的基礎(chǔ)上對(duì)新方法的濾波及擬合過(guò)程進(jìn)行數(shù)值分析，并根據(jù)區(qū)域重力場(chǎng)的高頻甚高頻特性精確估計(jì)不同地形條件下的代表誤差，進(jìn)而確定“天文GPS水準(zhǔn)”的布設(shè)準(zhǔn)則。

1基本原理

考慮到我國(guó)是采用正常高系統(tǒng)，以下均以此進(jìn)行論述。正高系統(tǒng)與之類似。

高程異常與地面垂線偏差分量的關(guān)系式為[10]

.(1)

式中: 為方位角為 的垂線偏差分量; 為高程異常。此處采用平面直角坐標(biāo)。

由GPS水準(zhǔn)確定垂線偏差的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)是數(shù)值微分，即以差商 作為導(dǎo)數(shù)近似值，或?qū)Σ逯刀囗?xiàng)式 求導(dǎo)。與天文大地方法測(cè)定的垂線偏差相比，二者數(shù)學(xué)性質(zhì)不同:天文垂線偏差為單個(gè)測(cè)點(diǎn)上的全頻段觀測(cè)值，能譜以中高頻占優(yōu);GPS垂線偏差為一定范圍內(nèi)的積分平均值或平滑值，即低通濾波值，能譜以中低頻占優(yōu)。因此，在測(cè)點(diǎn)有限的情況下進(jìn)行數(shù)值積分，“天文GPS水準(zhǔn)”的代表誤差肯定小于天文水準(zhǔn);而且，GPS水準(zhǔn)覆蓋范圍越大，低通濾波作用越明顯，代表誤差相應(yīng)越小;此外，由于GPS垂線偏差變化平緩，能夠精確擬合其二次甚至二次以上的變化率，因而進(jìn)一步提高了數(shù)值積分的精度，使之不再受制于天文水準(zhǔn)的“垂線偏差呈線性變化”的假設(shè)性前提。

確定高程異常差的天文水準(zhǔn)原理式[11]為

.(2)

式中: 和 分別為重力和正常重力; 為積分路線上的平均值; 為 對(duì)應(yīng)的正常高差。

以顧及垂線偏差二次變化率的“天文GPS水準(zhǔn)”進(jìn)行設(shè)計(jì):對(duì)于障礙物兩側(cè)A和B兩點(diǎn)，首先以配置法分別擬合障礙物兩側(cè)的GPS水準(zhǔn)，獲得A點(diǎn)和B點(diǎn)在連線方向上的GPS垂線偏差分量 及其一次變化率 ，再由Hermite插值方法確定插值多項(xiàng)式 ，然后對(duì) 沿AB路線進(jìn)行積分，最后整理得[1]

. (3)

式(3)具有三次代數(shù)精度，右端第二項(xiàng)即為垂線偏差二次變化率的影響。

2數(shù)值分析

天文水準(zhǔn)的誤差主要來(lái)自于兩個(gè)方面:一是代表誤差，二是測(cè)量誤差。由于垂線偏差的能譜以中高頻占優(yōu)，導(dǎo)致前者為主要分量，且邊長(zhǎng)越長(zhǎng)、地形起伏越大，前者所占比重越大。“天文GPS水準(zhǔn)”方法要達(dá)到高精度，必須著重解決代表誤差問(wèn)題。

2.1 數(shù)值積分誤差

由垂線偏差計(jì)算高程異常差的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)是數(shù)值積分，其中天文水準(zhǔn)是采用一次插值求積，而“天文GPS水準(zhǔn)”是采用先平滑再三次插值求積(三次以上插值求積也可，相應(yīng)要求更多GPS水準(zhǔn)點(diǎn))，插值余項(xiàng)的積分即為截?cái)嗾`差。根據(jù)Hermite插值方法， 式的余項(xiàng)為

.(4)

式中: 表示GPS垂線偏差分量的4階導(dǎo)數(shù)。由于 僅由障礙物兩側(cè)區(qū)域的測(cè)點(diǎn)確定，故以作為整個(gè)區(qū)域(障礙物及其兩側(cè))的插值多項(xiàng)式則會(huì)產(chǎn)生代表性誤差。根據(jù)插值理論，若以同樣的間距在障礙物區(qū)域布測(cè)GPS水準(zhǔn)點(diǎn)，則整個(gè)區(qū)域應(yīng)獲到更高次的插值多項(xiàng)式，該多項(xiàng)式與 之差即為余項(xiàng) ， 之均方值即為 的代表誤差之平方[10]。

. (5)

式中: 表示 的代表誤差; 為平均算子; 為 的均方值。

由式(4)和式(5)可得“天文GPS水準(zhǔn)”的代表誤差

.(6)

2.2 代表誤差的頻域表達(dá)

估計(jì) 的關(guān)鍵是計(jì)算 。將高程異常 沿某一方向按一維傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)

.(7)

式中:s為距離變量; 為高程異常的n階波幅;R為地球半徑; 為n階信號(hào)的初相位。

由上式逐次求導(dǎo)，可得

. (8)

由傅立葉級(jí)數(shù)的正交特性可得

. (9)

高程異常的全球均方值為

.(10)

式中: 為正常重力; 為重力異常的n階分量; 為重力異常的n階方差。考慮到平均意義上的垂線偏差分量，由式(9)和式(10)可得

.(11)

式(11)對(duì)應(yīng)于全波段的垂線偏差而非GPS垂線偏差，故不能直接用于式(6)。

對(duì)于“天文GPS水準(zhǔn)”， 是由障礙物兩側(cè)區(qū)域擬合獲得，并用之以代表整個(gè)區(qū)域的插值多項(xiàng)式，故其余項(xiàng)均方值 的頻率上限應(yīng)為障礙物兩側(cè)的GPS水準(zhǔn)范圍寬度之和所對(duì)應(yīng)的球諧階數(shù) ，頻率下限則為整個(gè)區(qū)域范圍所對(duì)應(yīng)的階數(shù) [10]。 的頻率范圍與 相同，因此，由式(11)和式(6)可得

.(12)

式(12)即為“天文GPS水準(zhǔn)”的代表誤差計(jì)算式。

3區(qū)域階方差模型[12]

由于位模型階數(shù)的限制，由式(12)計(jì)算代表誤差只能采用經(jīng)驗(yàn)階方差模型。根據(jù)CALGARY大學(xué)的研究，Tscherning-Rapp(1974)模型盡管是作為全球模型提出，但在局部重力場(chǎng)中高頻段能譜衰減的表達(dá)上與實(shí)際情況符合良好[13]，優(yōu)于Kaula模型，因此我們選用前者(以下簡(jiǎn)稱T-R模型)

，(13)

式中: ; ; 。但式(13)不能直接用于式(12)的計(jì)算，原因是上述參數(shù)是對(duì)于全球范圍的平均水平而言的。

分析T-R模型可知:A值表達(dá)重力場(chǎng)起伏程度的總體水平， 則表達(dá)重力場(chǎng)能譜的衰減特性。由于T-R模型在能譜衰減的表達(dá)上與實(shí)際情況符合良好，因此可將其改造為區(qū)域階方差模型:對(duì)于不同地形類別的地區(qū)，A值應(yīng)隨之不同，S值則可保持不變。要確定不同地形類別的A值，可借助于經(jīng)驗(yàn)代表誤差模型。

Graaff Hunfer根據(jù)點(diǎn)重力異常代表誤差與代表區(qū)域的面積大小以及重力場(chǎng)復(fù)雜程度之間的相關(guān)性[11]，給出如下經(jīng)驗(yàn)公式

. (14)

式中: 為代表誤差系數(shù); 和 分別為矩形區(qū)域的長(zhǎng)和寬，以km為單位。式(14)適用于邊長(zhǎng)不大于50 km的區(qū)域。

代表誤差系數(shù)與地形類別存在統(tǒng)計(jì)數(shù)值關(guān)系，為便于實(shí)際應(yīng)用，我國(guó)將地形類別劃分為6個(gè)等級(jí)，并給出各級(jí)地形類別的判別標(biāo)準(zhǔn)和相應(yīng)的代表誤差系數(shù)(見(jiàn)表1)。

根據(jù)代表誤差與階方差的關(guān)系[10]，對(duì)于邊長(zhǎng)為 的方形區(qū)域，由式(14)可得

. (15)

再將式(13)代入則可得

. (16)

取km，并將各地形類別的代表誤差系數(shù)代入，即可求得相應(yīng)地形類別的A值(見(jiàn)表1)。

以表1為基礎(chǔ)，由不同地形類別、GPS水準(zhǔn)長(zhǎng)度、跨障礙長(zhǎng)度，根據(jù)式(17)分別估算不同地形條件的“天文GPS水準(zhǔn)”代表誤差，并與天文水準(zhǔn)比較，具體數(shù)值見(jiàn)表2。

表2表明:只要在障礙物兩側(cè)區(qū)域布設(shè)一定縱深的GPS水準(zhǔn)，采用“天文GPS水準(zhǔn)”方法即可達(dá)到相當(dāng)高的精度(暫不考慮測(cè)量誤差)，而且跨越距離越大，優(yōu)勢(shì)越明顯;此外，還可根據(jù)具體地形類別調(diào)整GPS水準(zhǔn)測(cè)量的范圍，以實(shí)施優(yōu)化設(shè)計(jì)。

4實(shí)例驗(yàn)證

杭州灣跨海大橋全長(zhǎng)35.7 km，跨海長(zhǎng)度31 km，首級(jí)控制分別在南、北兩岸布測(cè)了13個(gè)和11個(gè)GPS水準(zhǔn)點(diǎn)(二等幾何水準(zhǔn)精度)，控制網(wǎng)略圖見(jiàn)圖1。高程控制沿杭州灣兩岸實(shí)施一等幾何水準(zhǔn)聯(lián)測(cè)，其中南岸路線長(zhǎng)度149 km，北岸路線長(zhǎng)度129 km，第二期復(fù)測(cè)驗(yàn)后中誤差±7.3 mm。陸地水準(zhǔn)測(cè)量與后期的三等跨海水準(zhǔn)貫通測(cè)量(海上以優(yōu)先施工承臺(tái)為觀測(cè)平臺(tái)，將跨海高程測(cè)量分為23段，每段距離1.8 km，采用對(duì)向三角高程測(cè)量)構(gòu)成閉合路線，閉合差為-1 mm。

圖1杭州灣跨海大橋GPS水準(zhǔn)網(wǎng)

Fig.1 GPS leveling network of Hangzhou Bay Bridge

杭州灣兩岸地形略有差異，北岸為平原，南岸為平原向丘陵過(guò)渡。GPS水準(zhǔn)網(wǎng)覆蓋范圍在北岸橋位縱向?yàn)?.9 km，南岸為15.6 km，兩岸GPS網(wǎng)間距為32.5 km。由式(17)按平原地形估算得“天文GPS水準(zhǔn)”的代表誤差為±1.7 cm。

(18)

由擬合模型估算得測(cè)量誤差影響為±1.5 cm，二者合計(jì)為±2.3 cm，接近二等幾何水準(zhǔn)精度。

根據(jù)GPS水準(zhǔn)網(wǎng)布設(shè)情況，選擇位于測(cè)區(qū)中部的4條路線(16→3，16→11，21→11，21→3)作為高程傳遞路線。為檢驗(yàn)跨障礙能力，事先將南岸點(diǎn)的正常高減少1 m，即兩岸的高程基準(zhǔn)差為-1 m。“天文GPS水準(zhǔn)”與陸地的一、二等幾何水準(zhǔn)構(gòu)成閉合路線，具體結(jié)果詳見(jiàn)表3(具體計(jì)算詳見(jiàn)文獻(xiàn)[1])，最大閉合差為16→11的-1.9 cm，略小于±2.3 cm的理論估算誤差。實(shí)際精度略優(yōu)的主要原因之一可能是東部地區(qū)的(似)大地水準(zhǔn)面起伏主要是在東西方向，南北方向更為平滑[4]，因此代表誤差減小。實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了式(17)的正確性。

5結(jié)語(yǔ)

“天文GPS水準(zhǔn)”的基本原理與天文水準(zhǔn)相同，都是通過(guò)垂線偏差的數(shù)值積分確定(似)大地水準(zhǔn)面。所不同的是，前者同時(shí)包括了一個(gè)數(shù)值微分過(guò)程，充分利用GPS大范圍高精度測(cè)量的技術(shù)優(yōu)勢(shì)，實(shí)現(xiàn)垂線偏差的低通濾波，從而削弱其局部高頻特性，并精確估計(jì)其二次變化率，由此獲得高于天文水準(zhǔn)的精度。此外，該方法具有較強(qiáng)的自適應(yīng)性，可根據(jù)跨障礙距離、地形類別優(yōu)化設(shè)計(jì)觀測(cè)方案，平衡精度與成本。杭州灣跨海高程傳遞實(shí)驗(yàn)證明了該方法的技術(shù)優(yōu)勢(shì)和可行性，在測(cè)點(diǎn)分布合理的情況下，應(yīng)可達(dá)到更高精度。

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