平面SH波入射下深埋圓形組合襯砌洞室的動力反應分析

摘要:利用波函數展開法，研究平面SH波入射下，深埋圓形組合襯砌洞室的動力反應問題。利用得到的級數解和數學應用軟件MathCAD編寫計算機程序，討論了入射波頻率、組合襯砌結構的厚度比、彈性模量、泊松比、密度等因素對圍巖和襯砌結構動應力集中系數的影響。結果表明組合襯砌確實能有效地發揮圍巖的自承能力，降低襯砌結構的動應力集中，且在低頻入射時效果顯著。

關鍵詞:波函數展開法;深埋洞室;動應力集中;SH波;級數解;組合襯砌

中圖分類號:O347;P315.3 文獻標識碼 :A

Dynamic Response Analysis of deep buried Cylindrical Composite-lining Cavity Subjected to Incident Plane SH Waves

LI Gang1， ZHONG Qi-kai2，SHANG Shou-ping1

(1.College of Civil Engineering， Hunan Univ， Changsha， Hunan 410082， China; 2.General Contraction Company of CCTEB， Wuhan， Hubei 430064， China)

Abstract: By using wave function expansion method， dynamic response analysis of a deep buried cylindrical composite-lining cavity in an elastic space subjected to incident plane SH waves is studied. Compile program by using of the obtained series solution and mathematical application software MathCAD，discusses the main factors affecting the dynamic stress concentration factor of the surrounding rock and composite-lining structure，such as the frequency of incident waves，the ratio of size of composite-lining structure and the elastic modulus，poisson’s ratio and density of composite-lining structure and so on.The result indicates that the composite-lineing structure brings the surrounding rock’s self-supporting into full play effectively and reduces the dynamic stress concentration factor of lineing structure.Furthermore， the effect is remarkable when the frequency of the incident waves is low.

Keywords: wave function expansion method;deep buried cavity;dynamic stress concentration;SH waves;series solution;composite-lining

隨著社會經濟的發展，城市越來越擁擠，交通運輸也越來越不堪重負，進一步拓展城市空間，建設地下結構日益受到重視。多地震國家大部分地區為地震設防區，當前世界地震現象表明，多地震國家又開始了一個新的地震活動期。近年來地震活動較為頻繁，特別是5.12中國汶川大地震更是讓我們認識到地震的危害。因此，地下結構在爆炸沖擊波和地震波下的動力響應的研究有著重要的意義。

深埋洞室在彈性波入射下的動應力集中是地下洞室抗震分析中的一個基礎性課題。分析的方法包括數值法和解析法。數值法包括有限差分法、有限元法和邊界元法等。解析法包括波函數展開法、積分變換法和Green函數法等。數值法的特點是適用于任意形狀的洞室，而解析法是從問題的物理本質角度來剖析和解決問題，因而相比數值法有物理意義明顯、概念清晰的特點，而且還可以用來作為數值法正確與否的判據。20世紀70年代初，Pao和Mow[1]就采用波函數展開法開創性地研究了無限空間中洞室在彈性波入射下的動應力集中問題。隨后，Lee和Trifunac[2]將解答推廣到半空間，研究了半空間中洞室對SH波的散射問題。Lee和Karl[3-4]和Davis[5]等給出了半空間中無襯砌洞室對P波和SV波散射的解析解。劉殿魁等[6-7]采用復變函數的方法給出了SH波和P波入射下地下圓形襯砌洞室的動應力集中的解析解.梁建文等[8-10]給出了地下圓形襯砌洞室在平面P波和SV波入射下動應力集中問題的級數解解。

本文利用波函數展開法，給出了深埋圓形組合襯砌洞室在平面SH波入射下，圍巖和組合襯砌動應力集中問題的級數解，擴展了無襯砌洞室的解析解[1]，并討論了入射波頻率、組合襯砌的材料特性和厚度等參數對動應力集中系數的影響，得到了有意義的結論。

1計算模型

如圖1所示，全空間中一帶圓形組合襯砌(由剛性襯砌和柔性襯砌組成)洞室，柔性襯砌的內外半徑分別為 和 ，剛性襯砌的內外半徑分別為 和 全空間介質、組合襯砌結構均為彈性、均勻、各向同性，它們的性質分別由拉梅常數 、 和 ， 、 和 以及質量密度 、 和 確定。相應的SH波波數為 、 和 。

2模型求解

柱坐標系下相應的波動方程為:

(5)

對式(5)分離變量，用復數形式Fourier級數展開和Bessel函數積分公式，可將入射的平面SH波表示為:

(6)

其中:

當入射SH波遇到彈性材料構成的散射體時，部分入射波產生反射，部分入射波則受柱體表面折射并在柱體里面形成一道駐波，反射波和折射波可表示為:

(7)

(8)

其中 ，為剪切波的波數， 和 為第一類Bessel函數和第一類Hankel函數。

對圖1所示模型，平面SH波僅有一個非零位移 ，當入射波 遇到交界面 時將產生反射波 和折射波 ，折射波 進入界面 又產生反射波 和折射波 ， 在自由界面 產生反射波 。這樣各層介質中的都有兩道波，可表示為:

圍巖介質( ， ):

(9)

柔性襯砌( ， ):

(10)

剛性襯砌( ， ):

(11)

其中 為位移幅值， 、 和 為剪切波在圍巖介質、剛性襯砌和柔性襯砌中的波數， 為剪切波的圓頻率， 、 和 剪切波在圍巖、剛性襯砌和柔性襯砌中的傳播速度， 、 、 為待定系數。

將式(9)~(11)代入式(1)，并利用邊界條件(2)~(4)可得到求解待定系數的代數方程組，用矩陣表示如下:

(12)

其中，令 、 、 、 、 、 。由式(12)可求得各待定系數，將其代入式應力的表達式即可求得應力的級數表達式。

3動應力集中系數(DSCF)

應力集中是指由于幾何不連續，例如孔洞、空穴、缺口、溝槽、轉角、截面突然改變等原因而引起的局部應力的增加。一個不連續區域里的最大應力與根據簡單原理算出的標準局部應力的比值稱作應力集中因子。它是對在一個局部區域里的應力集中的嚴重程度的度量標準。以SH波入射下圍巖中的最大應力為標準局部應力，在入射波 作用下:

(13)

最大應力為 ，因此我們定義的DSCF為:

(14)

4數值結果分析

為了驗證本文的正確性，不妨令 、 、 、 、 和 均為1.0，則本模型退化為文獻[1]中SH入射下空穴的動應力集中問題。本模型計算結果與文獻[1]完全吻合，從而驗證了本文的正確。本模型中各層材料的物理特性參數詳見表1。

在DSCF的具體計算中，必須考慮求解的精度問題。針對級數的截取可以這樣進行，即先取不同項數計算，觀察相鄰計算項之間的誤差，當該誤差小于某預先設定的精度時，即可用該項數作為實際收斂計算項數[8-9]。

表1各層材料的物性參數

Tab.1Physical properties for the materials of each layer

參數

結構層彈性模量

(MPa)密度

(Kg/m3)泊松比

圍巖1500026000.2

柔性襯砌70~2008700.1

剛性襯砌3500025000.2

圖2 圍巖的DSCF隨 的變化( )

Fig.2 Dynamic stress concentration factor of the surrounding rock for ( )

圖2給出 時，深埋圓形無襯砌、組合襯砌和單層剛性襯砌洞室圍巖的DSCF隨無量綱波數 的變化情況。圖3給出了在不同波數情況下，圍巖的DSCF隨角度 的變化圖。從圖2中可知，無襯砌洞室情況下的DSCF隨無量綱波數 的變化與文獻[1]一致;圓形組合襯砌洞室與圓形單層襯砌洞室的DSCF最大值分別比無襯砌洞室DSCF最大值小8.6%和11.4%，并且DSCF都隨著頻率的增加而下降。對不同的頻率，無襯砌、組合襯砌、單層襯砌三種情況圍巖的DSCF在空間上的分布相同，無襯砌情況最大，組合襯砌情況次之，單層剛性襯砌情況最小，并且當 下，角度 對DSCF的影響幾乎與靜力值一樣，且隨著入射頻率的增大，DSCF的最大值的分布從右側逐漸變向左側，空間分布情況也由簡單逐漸變得復雜，而DSCF總體上逐漸變小。

圖3 圍巖的DSCF隨 的變化

Fig.3 Dynamic stress concentration factor of the surrounding rock for

圖4 圍巖的DSCF隨 的變化( )

Fig.4 Dynamic stress concentration factor of the surrounding rock for ( )

圖4~圖7給出了組合襯砌情況下圍巖的DSCF在不同入射頻率下隨組合襯砌的厚度比 、彈性模量 、泊松比 和密度 的變化情況。從圖中可以看出:圍巖的DSCF隨 的增大逐漸增大，并逐漸逼近無襯砌情況下的值，高頻下變化相對較大，但最終還是趨于無襯砌情況下的值;DSCF隨 的增大而減小，但是較小的速度隨 增大而降低，除了在高頻情況下，DSCF隨 、 增大有稍微的增大，低頻情況下幾乎沒有變化。

圖5 圍巖的DSCF隨 的變化( )

Fig.5 Dynamic stress concentration factor of the surrounding rock for ( )

圖6 圍巖的DSCF隨 的變化( )

Fig.6 Dynamic stress concentration factor of the surrounding rock for ( )

圖7 圍巖的DSCF隨 的變化( )

Fig.7 Dynamic stress concentration factor of the surrounding rock for ( )

圖8給出了 時，單層襯砌和組合襯砌圓形襯砌洞室襯砌內側DSCF隨無量綱波數 的變化情況，圖9給出了單層襯砌和組合襯砌圓形洞室襯砌內側DSCF在不同波數情況下隨角度 的變化圖。組合襯砌情況下襯砌內側DSCF的最大值比單層襯砌情況下襯砌內側DSCF的最大值減小了6.1%，并且隨著入射頻率的增大，減小的幅度進一步擴大，DSCF的分布從右側逐漸變向左側，空間分布情況也由簡單逐漸變得復雜，而DSCF總體上逐漸變小。

圖8 襯砌的DSCF隨 的變化( )

Fig.8 Dynamic stress concentration factor of the lining structure for ( )

圖9 襯砌的DSCF隨 的變化

Fig.9 Dynamic stress concentration factor of the lining structure for

圖10 襯砌的DSCF隨 的變化

Fig.10 Dynamic stress concentration factor of the lining structure for

圖11 襯砌的DSCF隨 的變化

Fig.11 Dynamic stress concentration factor of the lining structure for

圖12 襯砌的DSCF隨 的變化

Fig.12 Dynamic stress concentration factor of the lining structure for

圖13 襯砌的DSCF隨 的變化

Fig.13 Dynamic stress concentration factor of the lining structure for

圖10~圖13給出了在不同入射頻率時，單層襯砌和組合襯砌情況下襯砌內側的DSCF隨組合襯砌的厚度比 、彈性模量 、泊松比 和密度 的變化對比圖，這里設定單層襯砌情況下，襯砌厚度隨 一致增大，而從圖中可以看出:襯砌的DSCF隨 的增大先逐漸減小后增大，可以看出柔性襯砌與剛性襯砌厚度的最優比值為: ;DSCF在 較小時隨它增大而增加的較快，在 較大時變化不大;DSCF隨 的增大有所減小，而僅在高頻時，隨 的增大DSCF有稍微的增大。

4數值結果分析

利用波函數展開法，對深埋圓形組合襯砌洞室在SH波入射下的動力反應問題進行了研究分析，得出對研究深埋洞室工程抗震設計有指導意義的結論:

1)在剛性襯砌和圍巖之間加入柔性襯砌能夠有效地發揮圍巖的自承能力，降低襯砌結構內壁的動應力集中，且組合襯砌對低頻入射下具有良好的減震作用，柔性襯砌與剛性襯砌尺寸的最優比值為: ;

2)襯砌結構DSCF最大值在組合襯砌情況下比單層剛性襯砌情況下降低了6.1%，且隨著入射頻率的增大，DSCF的空間變化由簡單逐漸變得復雜，在多數情況下逐漸減小。

3)柔性襯砌的彈性模量應低于圍巖的彈性模量，但不是越低越好，取值為圍巖彈性模量的1/25~1/15較好;

4)柔性襯砌的泊松比和密度對圍巖和襯砌結構動應力集中僅在高頻條件下有較明顯的影響，在低頻下影響不大。

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