摘要:針對在實際的多屬性語言群決策問題中屬性之間往往具有相互關聯作用這一問題，提出了一種考慮屬性關聯的TOPSIS語言群決策方法。該方法中決策者給出對方案的語言評價信息，并采用近年來發展的二元語義概念對語言評價信息進行處理。在傳統理想點法的基礎上引入λ模糊測度的概念，根據屬性間的關聯作用確定每個方案屬性的權重并得到加權決策矩陣。然后計算每個方案與正、負理想點間在n維二元語義空間內的二元語義歐氏距離并得到相對貼近度，最終確定最優方案。該方法有效地避免了決策過程中語言評價信息的扭曲和損失，并能夠考慮屬性間的關聯作用對于屬性權重的影響，從而使得決策結果更加合理可信。最后通過一個實例驗證了方法的有效性和實用性。

關鍵詞:多屬性群決策;二元語義;λ模糊測度; TOPSIS法

中圖分類號:N945.25 文獻標識碼:A

New TOPSIS Linguistic Group Decision Making Method

Considering Interactions between Attributes

Xu Yong-ping，Wang Wen-guang，Yang Feng，Wang Wei-ping

(Department of Systems Engineering， College of Information System and Management， NUDT， Changsha， Hunan， 410073)

Abstract:Interactions often exist between some attributes in multi-attribute linguistic group decision making problems. To resolve this， a new TOPSIS linguistic group decision making method is proposed. In the method， decision makers give linguistic assessment information to different alternatives， and the two-tuple linguistic representation is used to aggregate the linguistic assessment information. The concept of λfuzzy measures is introduced to the traditional TOPSIS method to describe the interactions between attributes effectively. For each alternative， the weights of attributes are determined by considering the influence of interactions between them. Then weighted decision making matrix is obtained， and two-tuple linguistic euclidean distance between each alternative and positive/negative ideal solution is calculated . Then the relative closeness coefficients can be obtained， and optimal alternative can be determined. The new method not only avoids information distortion and losing which occur formerly in the linguistic information processing， but also considers the influence of interactions between attributes on the weights of them. Consequently， more reasonable result can be get based on this algorithm. An example is given to validate the proposed method.

Key words: multi-attribute group decision making; two-tuple linguistic;λ-fuzzy measures; TOPSIS method

在許多決策問題中，由于信息的模糊性和不確定性的存在，因而很難用定量方法來解決。對于這類問題，往往需要決策者根據自身的知識和經驗使用語言形式的評價信息(如優、良、中、可、差)來表達其偏好。同時，為了決策的科學性，避免因個人的主觀判斷、選擇和偏好程度對決策結果的影響，常常需要綜合多個決策者的群體智慧和經驗。因此，近年來基于語言評價信息的群決策問題受到了廣泛的重視[1-3]。為了克服以往的基于語言評價信息的群決策方法中的信息損失和集結結果不精確的缺陷，西班牙學者Herrara教授等人于2000年首次提出了基于符號平移概念的二元語義[4-6]分析方法。目前基于二元語義的群決策方法及應用已經有很多深入的研究[7-9]。但是從另一個角度來說，這些方法還是屬于傳統的多屬性決策方法的范疇，即這些方法都假設各個屬性是相互獨立的。但是在實際生活中，決策問題的各個屬性往往具有某種相互作用或者說相關性，這是現實中普遍存在的一類多屬性決策問題[10]。這就使得基于屬性獨立性假設的那些決策方法的有效性受到了質疑。日本學者Sugeno[11]于1974年提出了模糊測度和模糊積分的理論用來對模糊系統進行表示，并且進一步建議用這一理論來對人類的主觀評估過程進行建模。在使用模糊測度和模糊積分理論來解決實際的決策問題方面已經有了很多的努力[12-14]。相對于傳統的概率測度而言，模糊測度用較弱的單調性和連續性來代替可加性，能夠對單個屬性或者屬性集合的重要程度進行建模，因而能夠更加準確地刻畫人類的評估行為。本文針對解決具有語言評價信息的多屬性決策問題，考慮決策屬性之間的相互關聯作用，將模糊測度的概念引入到具有語言評價信息的多屬性決策問題中，提出了一種新的考慮屬性關聯的基于二元語義信息處理的TOPSIS語言群決策方法。

1.相關概念介紹

1.1.二元語義

二元語義[4-6]是西班牙學者Herrara教授等人于2000年首次提出的一種基于符號平移的概念，使用一個二元組 來表示語言評價信息。其中， 表示預先定義好的語言評價集 中的第 個元素， 稱為符號轉移值，且滿足 ，表示評價結果與 的偏差。二元語義信息處理方法將語言短語看作是定義域內的連續變量，能以二元組的形式表達語言評價信息集成后所獲得的所有信息，可以有效避免語言評價信息集結和運算中出現的信息扭曲和損失，在計算精度和可靠度方面明顯優于其它的語言信息處理方法。

定義 1[5] 若 是一個語言短語，那么相應的二元語義可以通過函數 獲得:

(1)

定義 2[5] 設實數 為語言評價集 經過某種集結方法得到的實數， 為語言評價集 中短語的個數，則 可由如下的函數 表示為二元語義信息:

定義 3[5] 設 是一個二元語義，其中 是 中的第 個元素， ，則存在一個逆函數 ，可將其轉化為相應的數值 :

設 和 為任意兩個二元語義，可證明二元語義具有以下性質:(1)若 ，則 ;(2)若 ，則分三種情況:若 ，則 ;若 ，則 ;若 ，則 。

定義4[7]:設 和 為任意兩個二元語義信息，則它們之間的距離為:

(4)

根據以上定義，本文提出了 維二元語義空間內的二元語義歐氏距離的概念，定義如下:

定義5:設 是一個 維二元語義空間，=( ， ， ， )是 內的一個 維二元語義向量，則兩個 維二元語義向量 和 之間的二元語義歐氏距離定義如下:

(5)

定義 6[5]:設 是一組二元語義信息，則T-OWA算子 定義為:

其中， ， ; 是集合{ 中第 個大的元素;而向量 是一個權重向量， ，且滿足 。 由下式確定:

上式中 是模糊量化算子，由下式得到

上式中， 。在“最少一半”、“模糊多數”和“盡可能多”的原則下，模糊量化算子對應的參數 分別為(0，0.5)、(0.3，0.8)和(0.5，1)。

1.2.λ模糊測度和Choquet積分

模糊測度用單調性代替了傳統測度的可加性。因此，模糊測度是一個非負非可加集函，其定義如下:

定義 7[11]:在集合 上的函數 :P(X)→[0，1] 是模糊測度，如果它滿足以下公理:

(1)有界性:

(2)單調性:若 ，那么

(3)連續性:若 是一遞增可測集序列，則 。

從多準則決策的角度看，可以把 看作是組成集合 的一個或者多個指標的綜合重要程度，因此模糊測度可以更加準確地刻畫多個指標之間的相互關系，更加準確地表示表示決策者的真實偏好。如果上述模糊測度還滿足下面的條件(4)，那么稱之為λ模糊測度，記作 。

(4)若 那么有 。

顯然，當λ=0時，λ模糊測度就是概率測度，這時候屬性之間是相互獨立的;當 時，說明屬性之間存在冗余關系，相互之間具有某種程度的替代作用;當 時，說明屬性之間存在互補關系，相互之間具有某種程度的補足作用。使用λ模糊測度的好處是降低了模糊測度在多屬性決策問題中應用的復雜度。

定義8[15]: 是定義在集合 上的模糊測度， 的元素記作 。函數 關于模糊測度 的離散Choquet積分定義為:

(9)

上式中，(i)指的是按照0≤ ≤…≤ 進行排序后的下標，令 ， 。在用于多準則決策領域的時候， 可以表示歸一化的指標屬性值或者是指標的效用函數，而Choquet積分則可以作為聚合算子將對各個指標的評價聚合成對備選方案的整體評價。式(9)可以改寫成如下形式:

(10)

上式中， 。由此可知，關于模糊測度的離散Choquet積分可以看作是 的加權和，且權值取決于按照0≤ ≤…≤ 重新進行排序后的位置，所以關于模糊測度的離散Choquet積分是在考慮了屬性之間的相互關聯作用后對加權平均的一種推廣，它突破了古典積分的線性限制，更加符合現實問題的要求。若使用的模糊測度是λ模糊測度，則式(10)可以寫作下面的形式:

(11)

上式中， 。

2.基于二元語義和模糊測度的TOPSIS法

考慮到現實的群決策問題中決策屬性往往具有相互關聯作用，并不滿足屬性獨立性的假設，因此引入λ模糊測度的概念，并結合二元語義信息處理方法，首次提出了一種考慮屬性關聯的TOPSIS語言群決策方法，下面給出相應的計算步驟:

(1)在考慮的多專家群決策問題中，假設決策方案集為 ，決策屬性集為 ，決策者集合為 。每一個決策者 依據其事先定義好的某一個語言評價集 給出方案 在屬性 上的評價信息，得到一個語言決策矩陣 ，并利用式(1)所示的 函數將各個決策者給出的語言決策矩陣轉化為二元語義決策矩陣 。

(2)確定決策準則，利用式(7)計算T-OWA算子的權向量。

(3)利用如式(6)所示的T-OWA算子將多個決策者的二元語義決策矩陣集結為群的決策矩陣 。

(4)由決策者群體給出方案的各個屬性的模糊測度值。λ模糊測度值的確定是另外一個復雜的問題，本文不做討論，這里采用Takahagi等人給出的算法來確定各個屬性的模糊測度值，具體方法可以參考文獻[16]。

(5)計算決策者群體的λ模糊測度加權矩陣。將群的決策矩陣 中對方案 的群體評價向量記作 。按照基于模糊測度的離散Choquet積分的思想，根據 對 內的各個元素按照從小到大的順序進行排序，得到新的排序向量 ，其中 表示重新排序后的下標。將方案的屬性也按照這個順序重新排序，并令 。那么由式(11)可知，根據每個具體方案中決策屬性效用值的排序不同，可以將 (其中 )看作是每一個具體方案中屬性 對應的權重，本文將其稱之為λ模糊測度權重。將屬性 對應的λ模糊測度權重記作 ，并將其按照原有的屬性順序進行排序，得到 那么方案 在屬性 上的λ模糊測度加權綜合評價值為 。那么方案 的λ模糊測度加權群體評價向量為 。那么群體的λ模糊測度加權決策矩陣為 。

(6)根據群體的λ模糊測度加權決策矩陣為 ，確定群體的正理想方案和負理想方案。群體的正負理想方案可以分別記作 和 。其中 ;而 。

(7)計算各方案與群體的正負理想解之間的二元語義歐氏距離。根據式(4)，將方案 在屬性 上與正理想解的距離記作: ;同理將方案 在屬性 上與正理想解的距離可以記作 。那么方案 與正負理想解的二元語義歐氏距離分別為:

(8)計算各方案與正理想解的相對貼近度:

(9)根據各方案與正理想解的貼近度對方案進行排序， 越大則相應方案的排序就越靠前。

3.實例研究

以潛艇研制方案的優選為例對本文方法進行驗證。在能夠清楚地說明問題的前提下，主要目的是為了驗證方法的可用性和有效性，因此指標體系及相應數據都是假定的。在這個問題中，有4個備選方案 ～ ，每個方案有5個評價屬性(分別為隱蔽機動能力、信息感知能力、指揮控制能力、武器攻擊能力和被動防御能力)，由4個專家 ～ 根據語言評價集S來對各方案的屬性值進行評價。S的評語分別為{很差，差，較差，一般，較好，好，很好}，分別用 ～ 來表示。4個專家給出的決策矩陣分別為:

選擇“大多數”的決策原則，通過計算此時T-OWA算子對應的權重向量為{0，0.4，0.5，0.1}。使用T-OWA算子計算得到群體的決策矩陣R:

應用文獻[16]的方法，得到λ值為0.743，各屬性的模糊測度值分別為0.20，0.25，0.10，0.20，0.05，這說明指標之間存在著一定的相互補足作用。由于潛艇要在狹小的空間內布置各類裝置和系統，因此其各項能力之間往往是相互沖突的，故其相應的決策屬性之間存在著一定的相互補足作用是合理的。得到群體的λ模糊測度加權決策矩陣 如下:

根據群體的λ模糊測度加權決策矩陣，可知正負理想解分別為:

; 。

根據式(12)計算各方案與正理想解的二元語義歐氏距離分別為:

; ;

; 。

根據式(13)計算各方案與負理想解的二元語義歐氏距離分別為:

; ;

; 。

根據式(14)計算各方案與正理想解的相對貼近度分別為: ; ; ; 。

因此，可以知道 ， 是最優的方案。若不考慮屬性之間的相互關聯作用，使用傳統的加權TOPSIS方法，則有 ， 是最優的方案。方案 與方案 比較起來，雖然在武器攻擊能力方面要明顯優于方案 ，但是在信息感知能力和指揮控制能力方面卻要遜于方案 。由于潛艇作為一個武器系統需要各方面能力的相互協同才能形成整體的作戰能力，而僅憑個別能力的突出表現是不足以形成這種整體戰斗力的，因此方案 優于方案 是合理的。

4.結束語

基于語言評價信息的多屬性群決策是一類新的重要的群決策問題，尤其是基于二元語義信息處理的多屬性群決策方法在近來受到了廣泛的關注。但是在實際的多屬性群決策問題中，屬性之間往往是具有相互關聯作用的，并不滿足獨立性假設。針對這種情況，本文首次將模糊測度的概念引入到基于二元語義信息處理的多準則群決策中，提出了一種新的考慮屬性間相互關聯作用的TOPSIS語言群決策方法。本方法能夠考慮決策屬性之間的相互關聯作用，使得決策結果更加符合實際情況，在理論上和實踐上都有一定的意義。需要指出的是，當λ=0時，本文方法即傳統的加權TOPSIS法，也就是說，傳統的加權TOPSIS法是本文方法的一個特例。但是本文采用的λ模糊測度只能描述所有準則之間的整體的相互關系，即這些準則整體上是冗余關系還是互補關系，而不能對兩兩準則之間的冗余或者互補關系進行描述。因此，在進一步的研究中，可以引入2-可加模糊測度[17]的概念對兩兩準則之間的關系進行描述，進一步提高決策者對問題的理解。

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