三角域上C1 連續的H-Coons 曲面片

唐運梅， 吳曉勤，韓旭里

（1. 湖南科技大學數學與計算科學學院，湖南 湘潭 411201； 2. 中南大學數學科學與計算技術學院，湖南 長沙 410083）

曲面造型是CAD/CAM 的核心技術之一，它所追求的目標是能夠靈活、方便地設計出所需的各種各樣復雜的形狀。三角域上的曲面造型方法能有效地解決構型復雜、形狀和邊界不規則產品的幾何造型問題，是對散亂數據進行曲面插值的基礎。

在三角形域上，通過對邊界曲線插值來構造三角曲面片的方法最早是由Barnhill, Birkhoff 和Gordon[1]提出的，該方法采用布爾和算子構造三角曲面片；并且要求給定的插值條件滿足相容性。如果給定的插值條件不滿足相容性，則所構造的三角曲面片上還需加上一個修正項，以去掉不相容性[2-3]。Gregory[4-6]使用凸組合的方法構造三角曲面片，所構造的三角曲面片由3 個插值算子的凸組合構成，每個插值算子均滿足三角形兩條邊上的插值條件。Nielson[8]提出的邊－點法也使用3 個插值算子的凸組合構造三角曲面片，每個算子滿足一個點及其對邊上的插值條件。Hagen[9]進一步發展了邊點法，并用來構造幾何三角曲面片。這些研究結果已被一般化為構造具有一階或二階幾何連續的三角曲面片的方法[10-11]。徐琳[12]對現有的三角域上的超限插值方法進行了綜述。

隨著幾何造型工業的發展，往往要求調整曲面的形狀或改變曲面的位置。Barsky[13]通過在基 函數中引進了兩個參數首先引入了β -樣條曲 線，用以調整曲線的形狀。近年來，許多學者在不同的函數空間中引入參數得到了一些新的曲 線。 Zhang[14]通 過 引 入 角 度 參 數α ， 在{1 ,t ,sint,cost}找到了三組不同的基函數，構造 的曲線作者稱之為C-曲線，包括C-Ferguson 曲線、C-Bézier 曲線、C-B 樣條曲線。最近，不少學者用雙曲多項式代替三角多項式，得到了一些新的曲線；汪國昭等[15]討論了平面三次混合雙曲多項式曲線及其形狀分類，提出了三次H-Bézier曲線，其后文獻[16-17]研究了一般的n 次H-Bézier 曲線; 文獻[18]討論了均勻的雙曲多項式B 樣條曲線。H-Bézier 曲線和H-B 樣條曲線除了具有Bézier 曲線和B 樣條曲線類似的性質外，可精確表示雙曲線和懸鏈線；且跟C-Bézier曲線和C-B 樣條曲線相比，一是參數α 的取值范圍更大，二是更逼近控制多邊形。帶有形狀參數的曲線，運用張量積方法很自然推廣到矩形域的曲面上；但在三角形域上如何構造帶有形狀參數的曲面，至今研究的文獻不多。

大家知道Coons方法也是計算機輔助幾何設計和計算機圖形學中一種構造曲面的重要方法。本文討論在三角形域上如何構造C1連續的H－型Coons 曲面片。首先給出兩種類型的雙曲混合型的Hermite 多項式，稱之為H-Hermite 多項式。然后將文獻[1]邊－邊方法，與Nielson 邊－點方法的Hermite 多項式用不同的H-Hermite 多項式替換得到了三種C1連續插值邊界數據的三角曲面片。構造的三角曲面片均含有形狀參數α ，調整α 的值，可改變曲面的內部形狀，而不影響曲面的邊界形狀，當α 0→ 時，可退化為通常的邊－邊與邊－點方法插值的曲面片。最后，實例顯示了本文方法的實際效果。

1 H-Hermite 多項式

1.1 第一類H-Hermite 多項式

類似于Zhang[14]在1996 年給出了C-Hermite多項式，作者給出第一類H－Hermite 多項式。

其中 α∈ (0 ,+∞),0 ≤t ≤α ， S =sinhα, C =cosh α, ρ=1/(2?2C +αS)。

第一類H－Hermite 多項式具有三次Hermite多項式類似的性質

i, j=0,α

其中 δij為克羅內克符號。

為了在三角域上討論插值問題，須作變換 t = αu，使得 u ∈[0,1]，這樣有

易見，式（2）具有三次Hermite 多項的性質。

1.2 第二類H-Hermite 多項式

下面給出第二種類型的H－Hermite 多項式

其中 α ∈ (0, +∞ )，0 ≤t ≤α ， S =sinhα， C =coshα， ρ=1/(2?2C +αS )。

簡單計算可驗證第二類H-Hermite 多項式具有性質

同樣，通過變換 ut α= ，使得 ]1,0[∈u ，有

可驗證式（4）有性質

2 三角域上C-曲面片

在三角域上對其邊界數據進行超限插值時，宜選用重心坐標。在以下的討論中，為了記號方 便，總假定 i,j,k = 1,2,3,i ≠j≠k≠i。

2.1 重心坐標

設T 表示一非退化的三角形，其頂點為Vi( xi,yi)( i =1,2,3)，頂點按逆時針方向標號。記 ei為頂點 Vi所對應的邊，即 e1= V3?V2，e2=V1?V3， e3= V2?V1；△T 的邊界記為?T 。如圖1 所示，點P 為三角形T 內任一點，記點P 關于△T 的重心坐標記為 (b1,b2,b3)，則bi= Ai/A，其中A 為△T 的面積，Ai為△ PVjVk的面積。

圖1 點P 在△T 的重心坐標

2.2 邊－邊插值方法

所謂邊－邊插值方法是：先采用BBG[1]的平行投影方法，構造插值三角形的兩條邊界數據的曲面片，再將三張插值曲面片凸組合得到插值三條邊界數據的曲面片。

設 ),( yxF 為一給定的二元函數，iP 為一基本插值算子，它插值邊界上兩點及沿著方向ie 的跨界導矢，算子的具體表達式可參考文獻[7]，圖2 給出了1P 插值說明。

圖2 P1[F]插值的幾何解釋

現將基本插值算子iP 中的三次Hermite 多項式用第一類H－Hermite 多項式替換，有

用Gregory[6]方法將 P1[F]、 P2[F]、P3[F]凸組合定義曲面如下

其中 ωi( i=1,2,3)稱為權函數（或混合函數）。

為了保證 P[ F]的C1插值特性，可選取

上述的權函數具有性質：

定理1 若 ),( yxF )(1 TC ?∈ ，則當 Tyx ?∈),(時， ][FP 插值 ),( yxF 及其一階導矢。

證 明由基本插值算子 P1[F]、 P2[F]、P3[F]知，它們分別插值三角形上兩條邊上的函 數值和一階導矢值；再由權函數的性質即可證明定理成立。

不妨稱式（6）的插值方法為H－邊邊法。

推論1 當 0→α 時， ][FP 是通常的邊－ 邊方法的插值算子。

證 明注意到式（2）的三次H－Hermite多項式性質，再參考Zhang[14]的方法即可證明。

2.3 邊－點插值方法

Nielson[8]在1979 年提出了三角域上的邊－點插值方法，也稱為徑向投影方法，使用3 個插值算子的凸組合來構造三角曲面片，其中每個插值算子滿足一個點及其對邊上的插值條件。

記iS 為頂點iV 所對應邊的點（如圖3 所示），則iS 的坐標為

圖3 Di[F]插值的幾何解釋

將Nielson 中基本插值算子 iD 中的廣義三次 Hermite 多項式用第二類H－Hermite 多項式替換，有

其中

這里 )(QFx， )(QFy分別表示 ),( yxF 在Q 點的x 方向和y 方向偏導數。

將 D1[F]、 D2[F]、 D3[F]凸組合，定義曲面

上述的權函數具有性質：

定理2 若 ),( yxF )(1 TC ?∈ ，則當( x, y)∈?T 時， D[ F]插值 F ( x,y)及其一階導矢。

證 明從式（4）知第二類H－Hermite 多項式與Nielson 的邊點法的廣義Hermite 多項式有相同的性質。即可證明。

不妨稱式（10）的插值方法為H－邊點法。

推論2 當 0→α 時， ][FD 是通常的邊－ 點方法的插值算子。

證 明可以按照與Zhang[14]類似的方法證明當 0→α 時，第二類H－Hermite 多項式即為Nielson 的邊－點法的廣義Hermite 多項式。

3 試驗例子

本節通過實際例子，說明前面插值格式的有效性。由于在基本插值算子中，含有分母項，作者選用優秀的符號計算軟件Mathematic 繪圖。

圖4 邊－邊法插值的曲面

圖5 邊－點法插值曲面的曲面

從圖4、圖5 的實際圖形可以看出，本文給定的方法都含有形狀參數α ，調整形狀參數的值可改變曲面的內部形狀，而不影響曲面的邊界形狀。

4 結論及展望

在三角形域上，用兩種不同的H-Hermite 多項式代替Hermite 多項式得到了三種C1連續插值邊界數據的三角曲面片。構造的三角曲面片均含有形狀參數α ，調整α 的值，可改變曲面的內部形狀，而不影響曲面的邊界形狀，當α 0→ 時，可退化為通常的邊－邊與邊－點方法插值的曲面片。最后，實例顯示了本文方法的實際效果。

[1] Barnhill R E, Birkhoff G, Gordon WJ. Smooth interpolation in triangles [J]. Journal of Approximation Theory, 1973, 8(2)： 114?128.

[2] Barnhill R E, Gregory J A. Compatible smooth interpolation in triangles [J]. Journal of Approximation Theory, 1975, 15： 214?225.

[3] Barnhill R E, Gregory J A. Polynomial interpolation to boundary data on triangles [J]. Mathematics of Computation, 1975, 29： 726?735.

[4] Gregory J A. Smooth interpolation without twist constraints[C]//Barnhill R E, Riesenfeld R F, eds. Computer Aided Geometric Design. New York： Academic Press, 1974： 71?88.

[5] Gregory J A. A blending function interpolant for triangles[C]//Multivariate Approximation. New York： Academic Press, 1978： 279?287.

[6] Gregory J A. C1rectangular and non-rectangular surface patches[C]//Barnhill R E, Boehm W, eds. Surfaces in Computer Aided Geometric Design. Amsterdam： North-Holland, 1983： 25?33.

[7] Barnhill R E, Little F F. Three-and four-dimensional surfaces [J]. Rocky Mountain J Math, 1984, 14： 77?102.

[8] Nielson G M. The side vertex method for interpolation in triangles [J]. J Approx Theory, 1979, 25： 318?336. [9] Hagen H. Geometric surface patches without twist constraints [J]. Computer Aided Geometric Design, 1986, 3(3)： 179?184.

[10] Hagen H. Curvature continuous triangular interpolants[C]//Lyche T, Schumaker L, eds. Methods in CAGD. Oslo： Academic Press, 1989： 373?384.

[11] Nielson G M. A transfinite, visually continuous, triangular interpolant[C]//Farin G, ed. Geometric Modeling, Applications and New Trends, SIAM. Philadelphia, 1987： 235?246.

[12] 徐 琳. 三角域上的超限插值方法[J]. 軟件學報, 2007, 18(2)： 430?441.

[13] Brian A Barsky. local control of bias and tension in beta-splines [J]. Computer Graphics, 1983, 17(3)： 193?218.

[14] Zhang Jiwen. C-curves： an extension of cubic curves [J]. Computer Aided Geometric Design, 1996, 13： 199?217.

[15] Wang Guozhao, Yang Qinmin. Planar cubic hybrid hyperbolic polynomial curve and its shape classification [J]. Progress in Natural Science, 2004, 14(1)： 41?46.

[16] 胡晴峰, 汪國昭. 雙曲混合多項式形式的Ball曲線[J]. 浙江大學學報(理學版), 2004, 31(6)： 625?630.

[17] Li Yajuan, Wang Guozhao. Two kinds of B-basis of the algebraic hyperbolic space [J]. Journal of Zhejiang University SCIENCE, 2005, 6A(7)： 750?759.

[18] Lu Yonggang, Wang Guozhao, Yang Xunnian. Uniform hyperbolic polynomial B-spline curves [J]. Computer Aided Geometric Design, 2002, 19(6)： 379?393.