一道課本習題的變式與延伸

周亞兵

【問題】義務教育教科書蘇科版《數學》九年級下冊第82頁第5題：

如圖1，在陽光下，某一時刻，旗桿AB的影子一部分在地面上，另一部分在建筑物的墻面上. 設旗桿AB在地面上的影長BC為20 m，在墻面上的影長CD為4 m. 同一時刻，豎立于地面長1 m的標桿的影長為0.8 m. 求旗桿的高度.

【分析】本題中旗桿AB，實際上與建筑物墻面是平行的，因此，不妨過點D作AB的垂線DE，垂足為E，從而將待求的高度AB分成AE和BE兩部分. 由于是在“同一時刻”條件下，即將問題轉化為求旗桿的AE部分的長度即可.

【解答】過點D作DE⊥AB于E，

∵DC⊥BC于C，AB⊥BC于B，

∴四邊形BCDE為矩形，

∴DE=BC=20 m，BE=DC=4 m.

∵同一時刻，在平行光線的照射下，不同物體的高度與影長成比例，

答：旗桿的高度為29 m.

【點評】本題是一道典型的用相似三角形解決實際問題的課本習題. 其實質，利用旗桿與墻面平行的條件構造了與圖2中的直角三角形A′B′C′相似的三角形，并應用相似三角形的性質求得對應邊的長度，進而解決實際問題.

【變式】假如旗桿的影子落在與旗桿不平行的臺階上，又怎么解決問題呢？讓我們一起來思考下面的問題：

例1 興趣小組的同學要測量樹的高度. 在陽光下，一名同學測得一根長為1米的竹竿的影長為0.4米，同時另一名同學測量樹的高度時，發現樹的影子不全落在地面上，有一部分落在教學樓的第一級臺階上，測得此影子長為0.2米，一級臺階高為0.3米，如圖3所示，若此時落在地面上的影長為5.4米，求樹高.

【分析】根據題意可構造相似三角形模型如圖4，則其中AB為樹高，EF為樹影在第一級臺階上的影長，BD為樹影在地上部分的長，GF即為樹中AG部分所對應的影子，ED的長為臺階高，即為樹中BG部分.

【解答】延長FE交AB于G，則Rt△ABC∽Rt△AGF，

（作者單位：江蘇省建湖縣城南實驗初中教育集團城南校區）