淺談特殊值法解數學客觀題

古人云：授人以魚，只供一飯；授人以漁，則終生受用無窮。學知識，更要學方法。在這里筆者談一談特殊值法在解數學客觀題時的妙用。

所謂特殊值法，就是在某一范圍內取一個特殊量，將繁雜的問題簡單化，這對于解一些不需整個解題思維過程的客觀題，可以收到事半功倍的效果。在一般性的問題中，通過特殊法往往能獲得解題的重要信息，發現解決問題的有效途徑。特殊值法解題的理論依據是：若對一般情形成立，則對特殊情形也成立；若某種特殊情形成立，則一般情形不一定成立；若對某種特殊情形不成立，則對一般情形也不成立。其關鍵在于如何尋求特殊值。下面舉例說明：

一、取特殊數值

例1在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若a、b、c成等差數列，則/1+=（ ）

解析：取特殊數值：不妨令a=3，b=4，c=5，則△ABC為直角三角形，=，=0，從而所求的值為。

例2 若a＞b＞1，P=，Q=(lga+lgb)，R=lg（），則（）

（A）R＜ P＜ Q （B）P＜ Q＜ R

（C）Q＜ P＜ R （D）P＜ R＜ Q

解析：不妨令a=100，b=10，則此時P=，Q=＝lg，R= lg55=lg， 比較可知選B。

二、 取特殊函數

例3已知f(x)是偶函數，xR，當x＞0時，f(x)是增函數， 若x1<0，x2>0，且|x1|<|x2|，則（）

（A）f(-x1)>f(-x2)（B）f(-x1)

（C）-f(x1)>-f(x2)（D）-f(x1)>f(-x2)

解析：因為“f(x)是偶函數，xR，當x＞0時，f(x)是增函數”，所以可以取特殊函數，令f(x)=x2，勾勒出草圖，立即可得答案為B。

例4若f(x)、g(x)分別為［-2，2］上的奇函數和偶函數，則函數y=f(x)g(x)的圖像一定關于（ ）對稱。

（A） 原點（B）y軸（C）x軸（D）直線y=x

解析：令f(x)=x，g(x) =x2，立即可得結果A。

三、取特殊圖形

例5 從P點引出三條兩兩成60度的射線PA、PB、PC，且PA=6，則A到面PBC的距離是（）

（A）（B）3（C）（D）

解析：取棱長為6的正四面體P-ABC，此時正四面體的高就等于A到面PBC距離，不難算出是，故選A。

例6 平行六面體ABCD-A1B1C1D1的體積為30，則四面體AB1CD1的體積為（）

（A）15（B）7.5（C）10（D）6

解析：取特殊平行六面體為正方體，則四面體AB1CD1的體積是正方體體積的三分之一，口算即得結果為C。

注：取正棱柱為特殊棱柱，取正棱錐為特殊棱錐是解立體幾何選擇題時常用的簡便方法。

四、取特殊位置

例7 設Ｐ是棱長相等的四面體Ａ-BCD內任意一點，且Ｐ到各個面的距離之和是一個定值，則這個定值等于（）

（A）四面體的棱長 （B）四面體的斜高

（C）四面體的高 （D） 四面體兩對棱間的距離

解法一：直接法——用體積轉化法求解。

所以SACB=SBCD=SACD=SABD

VA-BCD=VP-ABC+VP-ACD+VP-BCD+VP-ABD

=S△ABCh1＋S△ACDh2＋S△CBDh3＋S△ABDh4

=S△ABC(h1+h2+h3+h4)

從而有h1+h2+h3+h4＝h，故選C。

解法二：取特殊位置，將P點置于四面體的某一個頂點處，口算即得結果為C。

通過這幾個例題，我們不難發現用特殊值法解客觀題的一些規律：

（1）特殊值法是選取滿足題干的特殊數值、特殊點、特殊函數、特殊圖形等代替一般，并由此運算出結果，從而達到快速準確、簡明扼要地篩選出“真支”的解題效果。

（2）特殊值法比較適用于結論具有一般性的題目，尤其是適用于“對某一范圍或滿足某種條件的所有對象，某種屬性或某種關系恒成立”這樣一類以全稱形式出現的命題。