引導學生挖掘課本、夯實基礎、開發潛力

摘要：重視課本例題的教學并且充分挖掘教材上習題的內涵與延伸尤為重要，可達到事半功倍的效果。教學過程中要重結論應用推廣；重一題多解、一題多變，加強知識聯系；重隱蔽條件與錯誤分析；重解題思想方法的滲透，將數學基礎知識的掌握上升到較高層次。

關鍵詞：重基礎；找聯系；能拓廣

針對新課標、課改的要求，結合每天的備課以及對教材的分析，縱觀近幾年來的高考數學試題，課本概念、課本的題型考查占據了一定的份量，筆者覺得深入理解教材概念，重視例題的教學并且充分挖掘教材上習題內涵與延伸尤為重要，且能起到事半功倍的效果。筆者在教學中，在挖掘課本概念、習題方面做了一些嘗試，下面結合教材試從以下幾個方面各舉幾例，與各位同仁交流。

一、注重概念理解，培養應用能力

概念1：反函數。在此定義的理解上，顧名思義，我強調學生抓住兩個詞：“反”和“函數”。“反”強調將原函數反解，“函數”強調反解后構成是的函數。通過這種簡潔巧妙的方式加深了對定義的記憶和理解，同時這種理解也闡明了求解反函數的關鍵過程。

概念2：函數的單調性。理解函數單調性這一重要概念時，我引導學生抓住五點：局部性；任意性；一致（互異）性；等價性；升降性。局部性說明函數單調性是函數定義域內某一區間上的特征；任意性強調對于單調區間內任意兩個不相等的自變量和（），都有成立；一致（互異）性進一步說明自變量和函數值的變化一致則為增互異則為減；等價性強調增區間有，減區間有。升降性從圖象角度直觀理解函數單調性。通過五點概括，全面深入地加強了函數單調性的學習，對該知識點的考查角度也易于把握。比如：

應用1：已知定義在上的函數單調遞增，求滿足不等式的的取值范圍。這道題的求解的關鍵是對增區間內的應用。

應用2：已知函數是定義在區間上的奇函數，且，當時有，判斷函數單調性。這道題利用自變量和函數值的變化一致則為增函數這一結論便可迎刃而解。

二、重結論應用推廣，提高解題速度

原題1：高中平面向量課本P109例5：向量、不共線，，用、表示。

推廣1：三點A、B、P共線的充要條件是任取一點O，。

推廣2：P為有向線段的定比分點，P分有向線段所成的比為，O為平面內一點，則。

諸如此類結論可以應用推廣的習題，課本中比較多，應用推廣比較典型。總之，習題結論的應用推廣，可以更進一步使學生掌握教材內容，形成快速解答數學問題的基本能力。

三、重思維發散訓練，拓寬學生思維

原題2：高二數學上冊課本P11練習2，求證：＋≥2 。

此題可以應用均值不等式證明出來。

變式：求證：|x＋|≥2 (x≠0)。

學生很快可以應用均值不等式證明出來，在評講該習題時，我將該題進行幾次變化，增設如下幾問：①求函數y＝x＋的值域；② 指出y＝x＋的單調區間，并將其推廣到“NIKE”函數y＝x＋(a>0)的研究，用函數y＝x＋(a>0)的單調性研究

其最小值情況。這樣一題多變，使學生在應用均值不等式進行證明時，聯系到了函數的單調性、值域等知識點，并應用數學知識來解決實際問題。

原題3：高二數學上冊課本P44第6題，證明三點A(1，3)、B(5，7)、C(10，12)在同一直線上。此題的證明，我們分析后應用了如下幾種證明方法：

證法一：由kAB＝kBC，而證明三點共線；

證法二：由x坐標計算出λ1，由y坐標計算出λ2，得到λ1 ＝λ2，從而證明三點共線；

證法三：求出直線AB的方程，代入點C進行驗證，而證明三點共線；

證法四：計算|AB|、|BC|、|AC|，得到|AB|＋|BC|＝|AC|，證得三點共線。

本題在多種思路的解答過程中，聯系到了直線的斜率公式、兩點式方程、線段的定比分點坐標公式、兩點間的距離公式等知識點，也使學生掌握了解決三點共線問題的多種方法。

一題多變與多解，可以通過一題的訓練，聯系到較多的知識點，拓展學生的思維，起到事半功倍的作用。

四、重隱蔽條件與學生錯誤分析，養成細致解題的習慣

原題4：高二數學上冊課本P31第3題：已知設，求 。

學生解答本題，很難得到解題方法，經分析決定用兩次均值不等式。對此題的錯誤講評分析，可以強調學生在兩次均值不等式的應用中，對是否同時取“=”以及最終取定值的注意是重中之重。

又如：x，y均為正數，且，求的最大值。

本題學生易產生下面錯解：，又根據不等式性質，兩不等式相乘可得：，此題錯在忽略對兩個不等式相乘時能否取等的條件考慮。

諸如這類細節問題，課本中習題比較多，也是學生容易出錯的地方。如在給條件求值時，需要注意掩蔽的條件；應用性質、定理要注意性質、定理的條件等等。

五、重解題思想方法的滲透，將數學基礎知識的掌握上升到較高層次

原題5：高中三角函數課本P262第9題，如圖，三個相同的正方形相接，求證α＋β＝45°。

本題可以用幾何知識中的三角形相似方法來解決，然而更簡捷的解題思路，是應用代數中三角函數中兩角和的正切公式解答，這樣，幾何問題轉化為代數問題，體現了轉化思想和數形結合思想方法。

原題6：高中三角函數課本習題，求tan20°+tan40°+tan20°tan40°的值。

本題注重三角函數中兩角和的正切公式解答問題時的變形靈活應用。（兩角和的正切公式的變形公式：

方法滲透：課本習題：

1.已知求的值。

2.已知為非直角三角形的三個內角，求證：。

以上兩個習題都體現了對兩角和的正切公式的變形公式的靈活應用。

原題7：高二數學上冊課本P30第8題：已知，求證：。

要證此題只需證，再證到此應用均值不等式求證即可（）

又如在數列問題的解答中，對于等差數列和等比通項公式和前n項和公式應用的問題，還可以運用方程和函數思想來分析和解決。

在解答數學題的過程中，只有有意識地應用數學思想方法去分析和解決問題，才能形成能力，提高數學素質，使自己具有數學頭腦和眼光。

問題是數學的心臟，解決數學問題要指導學生按照著名數學教育家喬治#8226;波利亞的解題表中的四個步驟（弄清問題——擬訂計劃——實現計劃——回顧）來進行。例題教學一定要給學生思考的時間，教師應啟發學生對一個數學問題從多方位、多角度去聯想、思考、探索，進而加強知識間的橫向聯系。課本例題、習題較多，我們也要抓重點，并且從各個方面精心挖掘其潛力。只有這樣，我們才會真正從題海戰術中脫身出來，我們的學生也才會感受到學習是多么得輕松愉快。