寓言故事中的一次函數

在中國古老的故事中存在著一些函數關系問題，故事與函數的交融，形成了故事海洋中一道亮麗的風景線. 我們在平時學習中要關注這些具有文化底蘊和啟發意義的寓言故事，并要揭示其解題規律和所蘊涵的數學思想.

一、烏鴉喝水

例1 你一定知道烏鴉喝水的故事吧!一個緊口瓶中盛有一些水，烏鴉想喝，但是嘴夠不著瓶中的水，于是烏鴉銜來一些小石子放入瓶中，瓶中水面的高度隨石子的增多而上升，烏鴉喝到了水.但是還沒解渴，瓶中水面就下降到烏鴉夠不著的高度，烏鴉只好再去銜些石子放入瓶中，水面又上升，烏鴉終于喝足了水，哇哇地飛走了. 如果設銜入瓶中石子的體積為x，瓶中水面的高度為 y，下面能大致表示上面故事情節的圖象是().

解析:整個過程分為四個階段:①水面上升; ②水面下降; ③水面再次上升; ④水面再次下降. 能和這四個階段基本吻合的是選項B.

例2 小明受《烏鴉喝水》故事的啟發，利用量筒和體積相同的小球進行了如下操作.

請根據圖中給出的信息，解答下列問題:

(1)放入一個小球量筒中水面升高cm;

(2)求放入小球后量筒中水面的高度y(cm)與小球個數x(個)之間的一次函數關系式(不要求寫出自變量的取值范圍);

(3)量筒中至少放入幾個小球時有水溢出?

分析:本題可以采用兩種方法求解， 第一種是算術方法，即沒有球放入時水面高為30cm，也就是原來高為30cm，當放入3個球水位增長了6cm，從而就可以求出放入一個小球量筒中水面升高的量為2cm;當放入x個球時，水位升高了2xcm，故y=30+2x. 第二種是運用轉化思想轉化成點的坐標的形式，即無球時水面高30cm，就是點(0，30)， 3個球時水面高為36cm，就是點(3，36)， 采用待定系數法從而求出y與x的函數關系式.

解:(1)2.

(2)設y=kx+b，把(0， 30)，(3， 36)代入得:b=303k+b=36.解得k=2，b=30.即y=2x+30.

(3)由2x+30>49，得x>9.5，

所以至少要放入10個小球時才有水溢出.

二、龜兔賽跑

例3“龜兔賽跑”講述了這樣的故事:領先的兔子看著緩慢爬行的烏龜，驕傲起來，睡了一覺. 當它醒來時，發現烏龜快到終點了，于是急忙追趕，但為時已晚，烏龜還是先到達了終點. 用S、S分別表示烏龜和兔子所行的路程，t為時間，則下列圖象中與故事情節相吻合的是().

解析:當烏龜到達終點時，此時兔子仍在追趕的路上，所以符合題意的選項應該選D.

例4“龜兔賽跑”是同學們熟悉的寓言故事，如圖所示表示路程S(米)與時間t(分)的關系，那么知道:①賽跑中，兔子共睡了 分鐘;②烏龜在這次賽跑中的平均速度為 米/分鐘.

解析:①由圖象可知，兔子睡覺時間就是在圖象上平行于t軸的一條線段所對應的時間差， 即50-10=40(分). ②烏龜爬完全程所用時間為50分種，共爬行了500米，所以烏龜的平均速度為500÷50=10(米/分).

例5 新龜兔賽跑:兔子失敗后吸取了教訓，分析了失敗的原因是因為自己太輕敵，太驕傲了，準備爭口氣回來. 這次舉行的是100米賽跑，兔子讓烏龜先跑30米，然后自己才開始跑，已知烏龜每分鐘跑10米，兔子每分鐘跑15米，(列出函數關系式，作出函數圖象，觀察函數圖象)回答下列問題:

(1)何時烏龜跑在兔子前面?

(2)何時兔子跑在烏龜前面?

(3)兔子是否能追上烏龜?什么時候?

(4)誰先跑過100米?

解:設烏龜所跑的路程為y米，兔子所跑的路程為y米， 跑的時間為t分.

函數關系式分別為:烏龜:y=30+10t，兔子:y=15t.

函數圖象如右圖:

(1)當y=y時，有30+10t=15t.所以t=6(分)，故當0

(2)把y=100代入y得100=30+10t，所以t=7(分)，故當6

(3)能，在時間為第6分鐘時.

(4)把y=100代入y得100=15t，所以t=≈6.7(分)，故兔子先跑過100米.