關于矩陣求逆的幾種方法

摘 要： 矩陣求逆是高等代數中很重要的內容之一，本文介紹了矩陣求逆的幾種方法。

關鍵詞： 逆矩陣 初等變換 伴隨矩陣 級數 特征多項式

1.定義法

定義：設A為n階矩陣，如果存n在階矩陣B使得AB=BA=I。則稱矩陣A是可逆的，稱B是A的逆矩陣。

例1：求矩陣A=2231-10-121的逆矩陣。

解：因為|A|≠0，所以A存在。

2.公式法

定理1：n階矩陣可逆的充要條件是|A|≠0，而且當n（≥2）階矩陣A為可逆矩陣時，A=A，其中A為矩陣A的伴隨矩陣。

用公式法求逆，當階數較高時，計算量很大，所以該方法主要用于理論推導。

3.初等變換法

設n階矩陣A，作n×2n矩陣，然后對此矩陣施以初等行變換，若把子塊A變為I，則子塊I將變為A，即初等行變換［I，A］。

4.Gauss-Jordan（高斯—約當）法

由定義AA=I，設Y=AX（Y，X均為n維向量），則X=AY。若將Y=AX改寫成X=BY，則A=B。具體方法如下：寫出Y=AX的矩陣形式yy...y=aa…aaa…a…………aa…axx...x，

由矩陣乘法寫成方程形式y=ax+ax+…+axy=ax+ax+…+ax……………y=ax+ax+…+ax，

經消元后將上式轉化為如下形式：

y=bx+bx+…+bxy=bx+bx+…+bx……………y=bx+bx+…+bx，

即X=BY，所以A=B。

5.廣義的行列初等變換法

此方法可將階數較高的矩陣化為階數較低的矩陣再求其逆，使計算簡化。

例4：設r+s階矩陣A=BDOC，其中B，C是r，s階可逆矩陣，則A=B-BDCOC。

證明：（I）用廣義的初等行變換。

［Ａ，Ｉn］=BDI00C0I初等變換IO-B-BDCOIOC

由此得證。

（II）用廣義的初等列變換法。

AI=BDOCIOOI初等變換 IDCOIBOOC初等變換 IOOIB-BDCOC，

由此得證。

6.和化積法

有的問題要判斷方陣之和A+B的非奇異性并求其逆矩陣，此時可將A+B直接化為（A+B）C=I，由此有A+B非奇異，且（A+B）=C；或將矩陣之和A+B表示為若干已知的非奇異陣之積，并可得其逆矩陣。

例5：證明：若A=0，則I-A是非奇異的，并求（I-A）。

證明：∵（I-A）（I+A+A+…+A）=I

∴（I-A）是非奇異的，

且（I-A）=I+A+A+…+A。

例6：設A為n階矩陣，且滿足2A-3A+5I=0，證明A是可逆矩陣，并求A。

證明：∵2A-3A+5I=0

∴2A-3A=-5I

∴-A+A=I

∴A（-A+I）=I

∴A可逆，且A=-A+I。

7.利用多項式法

例7：已知n階可逆矩陣的特征多項式是f（λ）=|λI-A|=a-iλ，求A。

解：由A可逆可得A的特征多項式是f（λ）的常數項a≠0，并由哈密特—凱萊定理知f（A）=0，即aA+…+aA+aI=0，故A（-（aA+…+aI））=I，于是A=-（aA+…+aI）。當已知可逆的特征多項式時，利用以上方法很容易找到A。

8.矩陣函數的級數展開法

例8：設矩陣B的特征根的絕對值小于1，且A=I+B，則A的逆矩陣存在，且A=I-B+B+B-B…

證明：因I與B可逆，令S=I-B+B+B+…+（-1）B，于是S是與A之積等于1+（-1）B。

所以SA（1+（-1）B）=I，由于可逆矩陣的逆存在唯一性，可知A=S。

參考文獻：

［1］殷宗山.河北工程技術高等專科學校學報，1995.1.2.

［2］李桂榮.德州高等專科學校學報，2000.16.4.

［3］龔愛玲.天津理工學院學報，1995.9.3.