數(shù)形結(jié)合法在競賽試題中的應(yīng)用

摘 要： 數(shù)形結(jié)合的思想可使抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。本文以舉例的形式展示了數(shù)形結(jié)合法在競賽試題中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞： 數(shù)形結(jié)合 競賽試題 應(yīng)用

所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關(guān)系與空間形式結(jié)合起來。其應(yīng)用分為：“由形化數(shù)”；“由數(shù)化形”；“數(shù)形轉(zhuǎn)換”。使用數(shù)形結(jié)合的方法，很多競賽試題可迎刃而解，且解法簡捷。現(xiàn)舉例如下：

1.計算

例1：計算19961997×19971996-19961996×19971997。

解：題設(shè)算式類似矩形面積之差，構(gòu)造如圖1所示的矩形ABCD和矩形ECHF，所以此題轉(zhuǎn)化成了求小矩形ABHG與小矩形EDGF面積之差（兩個小矩形的寬均為1）。

所以原式=S-S=19971996×1-19961996×1=10000。

2.證明等式

b+c·d=0。

來解決本題。

CD=|d|=|a|，AD=|c|=|b|，

又由于a·c+b·d=0，可知a，b若同號，則c，d異號;若a，b異號，則c，d同號，即必有a·b與c·d異號，從而由|a·b|=|c·d|得a·b=-c·d，即a·b+c·d=0。

若a，b，c，d有為0的，例如a=0，則b=±1，d=0，c=±1結(jié)論顯然成立。

3.證明不等式

證明：如圖3所示，作以AB=1為直徑的圓O。在AB兩側(cè)任作直角三角形ABC和直角三角形ADB，使得AC=a，BC=b，DB=x，AD=y。

由勾股定理知a，b，x，y滿足題設(shè)條件，

根據(jù)托勒密定理有AC·BD+BC·AD=AB·CD，

又由于CD≤AB=1，因此a·x+b·y≤1。

4.求最值

要求u的最小值問題可轉(zhuǎn)化為：在線段AB上找一點(diǎn)P，使得PC+PD最小。

作點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)C′，連結(jié)C′D交AB于點(diǎn)P，由平面幾何兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)知，點(diǎn)P即為所求。

參考文獻(xiàn)：

［1］周友良，鄧升平.數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2005.9.

［2］羅增儒.數(shù)學(xué)競賽導(dǎo)論［M］.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2007.