如何上好“二面角”的習題課

正確找出“二面角”是學好“二面角”這節知識的關鍵。

求二面角的常用方法有：

（1）定義法：作棱的垂線：從棱上一點分別在兩個平面內作棱的垂線，所成夾角即為二面角的平面角。

（2）利用三垂線定理或逆定理：“兩垂線一連結”。

（3）面積射影公式：cosθ=。

（4）向量法：建立空間直角坐標系，求出兩個半平面的法向量和，則和的夾角或其補角即為二面角的大小。

教師怎樣才能讓學生掌握上面的幾種方法？我發現在《成材之路》第76頁有這樣一題：如圖所示，ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=，求SC與平面ABCD所成的角。

我把此題改編為：求面SBC和面SAB所成的二面角。

此題為無棱二面角，首先找棱。

我提示：要找棱，只要再找到棱上的另一點而延伸平面，實際是延伸平面內的直線。那么延伸兩平面內的哪兩條直線才合適？

通過同學之間的交流，學生很容易就得到圖1。

圖1

緊接著我提示：大家回憶一下，找二面角的平面角通常有哪些方法？

學生通過互相交流，馬上說出前文所述的四種方法，然后我說：“我們分四個小組打一個擂臺賽，看哪一組做得又快又準?！睂W生的積極性馬上被調動起來。“投影法”這一小組的學生最先完成，其次“向量法”小組，再次“三垂線”小組，最后是“定義法”小組（在我的提示下完成）。

四組學生使用不同方法用的時間長短不同。我總結如下：此題四種常用方法都適用，所以此題不失為求二面角的一道典型題。對此題我總結如下：

一、用投影法做此題，大家要注意，做題的時候一定要對公式進行說明。

二、向量法是我們必須掌握的方法，建系設點是我們新教材中解決立體幾何難點的重要手法，向量是工具，它能把幾何問題轉化為代數計算問題，所以我們必須掌握利用向量法解決幾何問題。

三、三垂線法是我們解決立體幾何的幾何方法，它主要考查的是三垂線定理、逆定理的應用，也是求二面角的一種重要手段，同時考查學生的空間想象能力、邏輯思維能力。

四、定義法也是常用的方法，但是要注意：當題中給的數據比較多時，我們不妨從小處著眼，看看圖形中邊長數據之間的關系，觀察它們的特點，進而直接在圖形當中找到二面角。此題做得最慢的一組學生為什么沒有做出來，關鍵是如圖2，圖中的∠SBC本身是直角，但很多學生證不出來，并且圖中∠CSB就是面SCD和面SAB的二面角，我們只需通過邊的數據，證明即可。但是很多學生都在二面角的棱上找一個點去作二面角的平面角，這樣就使簡單問題復雜化了。

圖2

通過這節課我感覺到，要想使學生學好幾何，我們首先必須精選題，其次要調動學生的積極性，在課堂上充分發揮學生的主觀能動性。教師在課堂上創造平等、民主、寬松的探索氛圍，構建師生、學生互動的平臺，是促進問題動態生成的首要條件；讓學生發表自己的見解，提出有價值的問題，有效地促成問題解決，是搞好校本教研與課堂教學的關鍵。在合作交流的過程中，教師要做到既有思維含量，又活而不亂，讓數學課堂彌散生命的靈氣和藝術的芬芳。