新課程下的遞推數(shù)列教學(xué)新論

摘 要： 遞推數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，因此在新課程下我們要加強對此的教學(xué)。本文作者認(rèn)為在此教學(xué)中必須循序漸進(jìn)，明確教什么、怎么教、怎么練習(xí)是關(guān)鍵。

關(guān)鍵詞： 遞推數(shù)列 教學(xué) 通項公式

新課程標(biāo)準(zhǔn)中對遞推數(shù)列沒有明確要求，且不同版本的教材對此意見不一致。但是遞推數(shù)列是高考常考的內(nèi)容之一，而且有一定的難度。因此在平時教學(xué)中我們必須補上這一課。

1.教什么

遞推數(shù)列的教學(xué)是在學(xué)生學(xué)了等差與等比數(shù)列的基礎(chǔ)上，對數(shù)列作進(jìn)一步研究的教學(xué)，由遞推公式求數(shù)列的通項公式主要是等差等比數(shù)列的知識和方法的應(yīng)用。在高中范圍內(nèi)主要補充以下幾個遞推數(shù)列：

a=pa+q（n＞1）（pq≠0，p≠1），

a=pa+kn+b（n＞1）（pk≠0，p≠1），

a=pa+qa（n≥3）（p，q為常數(shù)，pq≠0）。

2.怎么教

由遞推公式求數(shù)列的通項公式是教學(xué)中的重點和難點，教師必須設(shè)計好，使問題容易入手，首先讓學(xué)生有個感性的認(rèn)識，然后讓學(xué)生體會。筆者認(rèn)為這樣教的效果較佳。

2.1用證明題指明方向

例1：已知數(shù)列{a}中，a=，a=4a+1（n＞1）。求證：（I）數(shù)列{a-a}為等比數(shù)列；（II）數(shù)列a+為等比數(shù)列。

證明：（I） ∵a=4a+1（n＞1），∴a=4a+1，∴a-a=4（a-a）（n＞1）。而a-a=4a+1-a=≠0，∴數(shù)列{a-a}為等比數(shù)列。

（II） ∵a=4a+1（n＞1），∴a+=4（a+）。而a+=≠0，∴數(shù)列a+為等比數(shù)列。

例2：已知數(shù)列{a}中，a=1，a=2a+3n-1（n＞1）。求證：數(shù)列{a+3n+5}為等比數(shù)列。

證明：∵a=2a+3n-1（n＞1），∴a+3n+5=2［a+3（n-1）+5］，而a+3×1+5=9，∴數(shù)列{a+3n+5}為等比數(shù)列。

例3：已知數(shù)列{a}中，a=5，a=2，a=2a+3a（n＞2）。求證：數(shù)列{a+an}、{a-3a}為等比數(shù)列。

證明：∵a=2a+3a（n＞2），∴a+a=3（a+a），而a+a=7≠0，∴{a+a}為等比數(shù)列。

同法可證{a-3a}為等比數(shù)列。

注：對于證明題，學(xué)生目標(biāo)明確，只要恰當(dāng)構(gòu)造所要研究的數(shù)列，利用等差或等比數(shù)列知識就能使問題得到解決。這個階段使學(xué)生有個感性的認(rèn)識，關(guān)鍵是讓學(xué)生有個理性的思考方向。

2.2用求解題教會方法

將上面的3個例子如果全部換為求數(shù)列{a}的通項公式應(yīng)當(dāng)怎么解決呢？若沒有先證的結(jié)論問題，學(xué)生解決此類問題會有不小的困難，因此教學(xué)遞推數(shù)列的目的還是要求學(xué)生掌握由此求通項公式的方法。現(xiàn)在回到前面研究所要證明的結(jié)論，如果能夠解決這個結(jié)論產(chǎn)生的根源也就可以了。上面的幾個結(jié)論的證明是有目的的構(gòu)造，這種方法對于問題的解決可能一目了然。但對于復(fù)雜的問題我們就要選擇其它的方法了。下面筆者談?wù)勌幚泶藛栴}的兩個比較典型的方法：待定系數(shù)法和遞推再現(xiàn)相減法。

（1）a=pa+q（n＞1）（pq≠0，p≠1）型，可轉(zhuǎn)化為a-a=p（a-a）（n＞1），即數(shù)列{a-a}為等比數(shù)列；也可轉(zhuǎn)化為a+c=p（a+c）?圯c=，即數(shù)列{a+c}為等比數(shù)列。

例4：已知數(shù)列{a}中，a=，a=4a+1（n＞1）。求數(shù)列{a}的通項公式。

解法1：∵a=4a+1（n＞1），∴a=4a+1，∴a-a=4（a-a）（n＞1）。而a-a=4a+1-a=≠0，∴數(shù)列{a-a}是以a-a=為首項，4為公比的等比數(shù)列。∴ a-a=×4，再由a=4a+1得a=×4-。

解法2：設(shè)a+c=4（a+c），則a=4a+3c，∴c=，而a+=≠0，∴數(shù)列a+為等比數(shù)列，∴a+=×4，即a=×4-。

（2）a=pa+kn+b（n＞1）（pk≠0，p≠1），可轉(zhuǎn)化為：a-a=p（a-a）+k（n＞1），由類型（1）處理；也可轉(zhuǎn)化為：a+cn+d=p［a+c（n-1）+d］?圯c=，d=。

例5：已知數(shù)列{a}中，a=1，a=2a+3n-1（n＞1）。求數(shù)列{a}的通項公式。

解法1 ：∵a=2a+3n-1（n＞1），∴a=2a+3（n+1）-1，∴a-a=2（a-a）+3，∴a-a+3=2（a-a+3），∴數(shù)列{a-a+3}是等比數(shù)列，故a-a+3=（a-a+3）2，∴2a+3（n+1）-1-a+3=9·2，即a=9·2-3n-5。

解法2：令a+cn+d=2［a+c（n-1）+d］（n＞1），則a=2a+cn-2c+d=2a+3n-1，∴c=3，d=5，∴a+3n+5=2［a+3（n-1）+5］，而a+3×1+5=9，∴a=9·2-3n-5。

（3）a=pa+qa（n≥3）（p，q為常數(shù)，pq≠0）型，可轉(zhuǎn)化為a-αa=β（a-αa）?圯α+β=pαβ=-q，解方程組求出α和β。即數(shù)列{a-αa}、{a-βa}分別以β，α為公比的等比數(shù)列。

例6：已知數(shù)列{a}中，a=5，a=2，a=2a+3a（n＞2），求數(shù)列{a}的通項公式。

解：令a-αa=β（a-αa）（n＞2），則a=（α+β）a-αβa（n＞2），由α+β=2αβ=-3，得α=-1β=3或 α=3β=-1，∴a+a=3（a+a）或a-3a=-（a-3a）（n＞2），∴a+a=7·3a-3a=-13·（-1），∴a=。

3.結(jié)語

“能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差或等比關(guān)系，并能用相關(guān)知識解決相應(yīng)的問題”。這句話說明了新課程要求深入掌握遞推數(shù)列。筆者認(rèn)為以往對遞推數(shù)列的教學(xué)與考查并沒有“雙基異化”的傾向，相反，遞推數(shù)列能夠培養(yǎng)學(xué)生的觀察、歸納、猜想等合情推理的能力，更能夠培養(yǎng)學(xué)生的計算、邏輯推理能力。因此在新課程教學(xué)中我們對此應(yīng)有所突破，而不能照本宣科。