高等代數(shù)中伴隨矩陣性質(zhì)的研究及其應(yīng)用

摘 要： 本文根據(jù)伴隨矩陣的基本性質(zhì)，討論了它在伴隨矩陣問題中發(fā)揮的重要作用，我們只要能夠靈活運(yùn)用基本性質(zhì)，再結(jié)合相關(guān)知識，就能巧妙解決相應(yīng)問題，收到事半功倍的效果。

關(guān)鍵詞： 伴隨矩陣 基本性質(zhì) 證明過程

伴隨矩陣是高等代數(shù)中非常重要的概念，它在矩陣?yán)碚撝姓加蟹浅Ｖ匾牡匚?，因此對它的研究意義重大。然而在高等代數(shù)學(xué)習(xí)中，大部分學(xué)生對伴隨矩陣的學(xué)習(xí)效果不是很理想，總存在對伴隨矩陣問題無從下手等問題，筆者認(rèn)為主要的原因是他們對伴隨矩陣的概念和基本性質(zhì)理解不透徹。下面給出伴隨矩陣的基本概念和一個基本性質(zhì)，并給出由它引申的一些性質(zhì)，對這些性質(zhì)的證明和問題的應(yīng)用有助于學(xué)生對伴隨矩陣基本性質(zhì)的進(jìn)一步理解和強(qiáng)化，以及在有關(guān)伴隨矩陣問題的證明過程中基本性質(zhì)發(fā)揮重要的作用。

1.基本概念和基本性質(zhì)

定義1：伴隨矩陣：設(shè)A?魴P，則稱A= A A … A A A A … A A … AA … A A A A … A A為A的伴隨矩陣。

注意：A的伴隨矩陣A是由矩陣A的每一行的代數(shù)余子式A為對應(yīng)的列構(gòu)成的新的矩陣。

基本性質(zhì)：對A?魴P，恒有AA=AA=|A|E成立。

注意：上面的恒等式是對任意的方陣，不論方陣可逆與否都是恒成立的，而且通過下面的一些性質(zhì)的證明，我們將會體會到此恒等式所發(fā)揮的重要作用。

2.引申性質(zhì)

性質(zhì)1：若A?魴P，則有|A|=|A|。

證明：由基本恒等式兩邊同時取行列式得：|A||A|=|A|，當(dāng)|A|=0時，易知|A|=0，所以有結(jié)論成立：當(dāng)|A|≠0時，可知結(jié)論也成立。總之，不論在什么情況下，恒有結(jié)論成立。

性質(zhì)2：A?魴P，且A可逆，則有A可逆，（A）=（A）。

證明：由A可逆，知|A|≠0，由基本性質(zhì)知A可逆或由性質(zhì)1知A可逆。再由基本恒等式知（A）A=|A|E，所以（A）=|A|（A）=|A|A=A。再由基本恒等式知（A）=A，所以有結(jié)論成立。

性質(zhì)3：若A，B?魴P，則（AB）=BA。

證明：由基本恒等式知：（AB）（AB）=|AB|E，所以，當(dāng)A，B均可逆時，有（AB）=|AB|（AB）=|A||B|BA=（|B|B）（|A|A）=BA。

當(dāng)A或B不可逆時，令A(yù)（l）=lE+A，B(l)=lE+B，只要l充分大，就能使A（l），B（l）都可逆。所以（A（l）B（l））=（B（l））×（A（l））。此式中的元素都是關(guān)于l的多項式，由于l充分大時，對應(yīng)元素相等，因此對應(yīng)元素是相等的多項式，即式中對任意l都成立。取l=0，便得（AB）=BA。

性質(zhì)4：A?魴P，則有（A）=|A|A，(n＞2)。

證明：當(dāng)|A|=0時，易知秩A￡1。因n＞2，所以秩(A)=0，從而(A)=0，故有(A)=|A|A。

當(dāng)時|A|≠0時，|A|=|A|≠0，且A=|A|A，

所以(A)=|A|(A)=|A|(|A|A)=|A||A|A=|A|A。

性質(zhì)5：若A，B?魴P，且|A|≠0，則如果B，A相似，那么B與A相似。

證明：因為B，A相似，所以存在可逆陣P，使得PAP=B，且|B|=|A|。再由|A|≠0知B也可逆。從而由基本性質(zhì)可得B=|B|B。所以有B=|B|B=|B|CAC=|A|CAC=CAC，所以B與A相似。

性質(zhì)6：如果A?魴P是正定矩陣，那么A也是正定矩陣。

證明：因為A是正定矩陣，所以A=A，|A|＞0。且存在可逆矩陣P，使得PAP=E，從而兩邊取轉(zhuǎn)置有PA（P）=E。再由A=，所以PA（P）=|A|E。又（A）=（A）=A，知A是對稱矩陣。所以A也是正定矩陣。

性質(zhì)7：若A是n(＞2)階方陣，則R(A)=n，μ±R(A)=n，1，μ±R(A)=n-1，0，μ±R(A)＜n-1。

證明：當(dāng)時R（A）=n時，|A|≠0，因為|A|=|A|≠0，故R（A）=n。

當(dāng)R(A)=n-1時，有|A|=0，于是AA=|A|E=0，所以R(A)=1，又因R(A)=n-1，所以至少有一個代數(shù)余子式A≠0，從而R（A）=1。

當(dāng)R(A)＜n-1時，A=0，即此時R(A)=0。

3.性質(zhì)的應(yīng)用

例題：試求出滿足A=A的一切n階方陣A。

解：若A=0時，A=0，當(dāng)然有A=A。

若0＜R（A）＜n-1，則R(A)=0，即A=0，此時A≠A。

若R（A）=n-1，則R(A)=1，當(dāng)n＞2時，顯然A≠A；當(dāng)n=2時，設(shè)A=a bc d，則A=d -bc a不可能有A=A，因若A=A，則得a=d，b=c=0，于是A=a 00 a，這與R（A）=1矛盾，故此時也有A≠A。

若R（A）=n，則R（A）=n，于是由基本性質(zhì)知A=|A|A=A，當(dāng)且僅當(dāng)A=|A|E。

綜上可得，滿足A=A的方陣是：零方陣及適合A=|A|E的可逆方陣。

4.結(jié)語

通過上面對伴隨矩陣的概念和基本性質(zhì)的理解，以及引申性質(zhì)的證明，我們可以非常明顯地看到伴隨矩陣概念的理解和其基本性質(zhì)在證明中的重要作用。因此，在教授這一部分內(nèi)容時，我們一定要明確告訴學(xué)生，凡是有關(guān)伴隨矩陣的問題，一定要想到伴隨矩陣的最基本的性質(zhì)，通過對它的轉(zhuǎn)化來對問題的解決起到關(guān)鍵性的作用。我們通過這些證明的點撥可以加深對伴隨矩陣的認(rèn)識和深化，從而在遇到有關(guān)伴隨矩陣問題時，可以在充分利用基本性質(zhì)或恒等式的基礎(chǔ)上，再結(jié)合相應(yīng)的高等代數(shù)知識和有效的賞識教育的方法提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性等措施，學(xué)生就能對此類復(fù)雜問題的處理真正做到舉一反三，收到事半功倍的效果。

參考文獻(xiàn)：

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