時間序列計量模型優劣比較方法的建立

[摘 要] 時間序列分析方法是伯克斯和詹金斯（BOX-Jenkins）于1976年提出的。這種建模方法的特點是不考慮其他解釋變量的作用，而是依據變量自身的變化規律，利用外推機制描述時間序列的變化。目前這種方法已經廣泛應用于自然科學和社會科學的個個領域，特別是經濟領域。但是在建模的過程中可能出現幾個不同的模型都能擬合數據的生成過程。本文通過對模型殘差和樣本外推預測誤差的綜合分析，建立時間序列計量模型優劣比較的評價方法體系。

[關鍵詞] 時間序列分析 殘差 預測誤差

時間序列分析方法的基本思想是源于事件的發展通常都具有一定的慣性，這種慣性用統計的語言來描述就是序列值之間存在著一定的相關關系，而且這種相關關系具有某種統計規律。分析的重點就是尋找這種規律，并擬合出適當的數學模型來描述這種規律，進而利用這個擬合模型來預測序列未來的走勢。

在利用時間序列分析方法建立模型的過程中，可能會有若干個適應的模型都能用來描述給定的數據集。這些不同的模型中到底哪一個更好呢，通常的做法是基于由擬合模型計算出殘差的綜合統計量，結合由樣本外推預測計算出的預測誤差來對它們進行比較。前者相當于是對模型擬合優度的比較，其比較的方法主要有：

一、校正的判定系數（adjusted R2）

其定義為：adjusted R2=1-(n-1)(1- R2)/n-k

其中 n為樣本數，k為包括截距項在內的模型中的參數個數。R2為判定系數。對于不同的模型，校正的R2越大，則認為模型能夠更好的擬合時間序列的數據生成過程。

二、Akaike的AIC和BIC準則

為了檢驗模型擬合的質量，Akaike（1974）其定義為：

其中M為模型中的參數個數，是對的極大似然估計。對于不同的模型，我們選擇M使AIC(M)達到最小。

Akaike（1978，1979）對原來的AIC準則進行了修改，提出了極小AIC方法的Bayesian推廣，稱為BIC，其定義為：

這里，是的極大似然估計， M是參數個數，是序列的樣本方差。與AIC方法的使用一樣，我們要選擇M使BIC(M)達到最小。

三、Schwartz的SBC準則

Schwartz（1978）提出模型選擇的Bayesian準則，稱為SBC準則。其定義為：

其中是的極大似然估計，M是模型中的參數個數，n是有效觀測個數，等價于可由序列中計算的殘差個數。我們選擇使SBC(M)達到最小的M。

上面幾種方法是基于由擬合模型計算出殘差的綜合統計量來對模型進行比較，這只是模型之間比較的第一階段。我們建立時間序列模型還有一個很重要的應用是預測，不同的模型在預測方面有不同的表現，只有那些能更好的預測時間序列未來的發展趨勢的模型才是更好的模型。所以我們還要對模型在預測方面進行評價。其評價方法有如下幾種：

令為預測值，yi為實際值，n為預測點數。

1.均方誤差（MSE）

對于不同的模型，預測的MSE最小的模型為更好的模型。

2.誤差均方根（RMSE）

使得預測的RMSE越小的模型則越好。

3.平均絕對誤差（MAE）

使得預測的MAE越小的模型則越好

4.平均絕對百分誤差（MAPE）

使預測的MAPE越小的模型則越好。

5.Theil不等系數（U）

U的值在0與1之間，當U越接近0模型的預測效果越好，越接近于1模型的預測效果則越差。

Theil不等系數可以分解成下列形式：

其中，分別是和y的平均值，和分別為和y的標準差，ρ為和y之間的相關系數。再定義不等比例如下：

其中UM，US，UC分別稱為偏誤比例，方差比例和協方差比例。偏誤比例度量了預測值的均值與序列實際值均值的偏離程度，稱為系統誤差。一般來說，偏誤比例越小，則模型的預測效果越好。方差比例度量了預測值方差與實際序列的方差的偏離程度，方差比例越小，則模型的預測效果越好。協方差比例度量了剩余的非系統預測誤差，相對來說，協方差比例越大，則模型預測效果越好。

以上五個統計量中，誤差均方根()RMSE比其他四種統計量更加有用，因為它度量了誤差的度（magnitude），但是這五個統計量都只是計量預測誤差的大小，而沒有考慮到預測誤差的方向。如果要考慮到預測誤差的方向則要應用到下面這個統計量

6.DS（Directional Symmetry）

當時，di=1；否則，di=0。

DS表示在預測過程中，預測的方向正確的值在總的預測中所占的百分比。

如果DS值越大，說明模型預測在預測方向上準確度越高。

我們可以利用以上的幾個綜合指標來比較時間序列計量經濟模型的優劣。但是在預測方面對模型進行評價方面還要注意兩點，一是在樣本內擬合程度越好的模型其預測效果并不是越好，二是由于模型參數估計誤差的存在，小模型的預測效果往往好于大模型。所以我們在對模型進行評價的時候要把模型的擬合程度和預測效果結合起來。

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