數學也能簡單化

把數學變得容易一些，主要有三個途徑:(1)想想哪些難點是人為制造的，不必要的規定要改掉;(2)引進新的概念時，必須適合學生的思想，了解學生的生活經驗;(3)教給學生比較一般的解題方法。

一、數學難學的原因

1.數學知識多且要求高

數學教育的不景氣是世界范圍內近幾十年的事情，當然原因是多種多樣的。其中有一個重要的原因就是數學不好學、太難，花了很大力氣去學，學了之后覺得不劃算。美國有一個著名的數學教育家說，由于學數學，一些學生從年輕就對人生失去了信心，從這個意義上講，我們的數學教育在毀滅年輕的一代。雖然他說得嚴重了一些，但在一定程度上反映了實際情況。

學數學為什么感到難呢?其他的學科，往往經過歷史上的變革，原來的就沒用了，如物理學中的光學，原來是粒子說，粒子說被推翻了，就不學了。化學原來有“燃素說”，物理原來有“熱素說”，這些理論，一被推翻就不用了。數學則是從古到今，幾乎每一個年代的成果都要繼承下來。所以人們說，哲學家是把人家的那一頁涂掉，寫上自己的一頁，而數學家是加上自己的一頁越積累越多。另外數學用處越來越大，對數學的要求越來越高。如果一位學電機的學生學的數學太少，一到單位人家馬上就發現了，說這不行啊，數學上什么都沒學……社會對數學的要求越來越高，數學發展越來越快，數學積累知識越來越多，所以數學越來越難學。

2.人為制造的難點

在數學難學的客觀事實的基礎上，我們還人為地制造了許多難點，自找了許多麻煩。從小學開始，比如說出了一個題目:3個人每人分2個蘋果，一共多少個蘋果?小學生一定要寫“2×3=6”，如果寫成“3×2=6”老師就要扣分。這個問題，我多年來都想不通，多數數學家也想不通。你辛辛苦苦地教學生2×3不能寫成3×2，然后又要辛辛苦苦地教學生2×3=3×2(交換律)，人為地增加了難點。這是一個定義的問題，你一開始規定2×3和3×2是一樣的，既可以代表2個3，又可以代表3個2，這樣就可以了，學生就不會犯這個“錯誤”了。人是否犯法不僅取決于人，還取決于法律。法律規定得太嚴格了，人犯法就多一些，法律適當，犯法的人就少一些。最近北師大數學教育研究所編了一套21世紀的小學教材，吸取了這個觀點，2×3和3×2可以通用。試教時，老師有一種“解放了”的感覺，學生也感到高興，這少犯了許多“錯誤”。

二、把數學變簡單的策略

要減少一些人為的難點，這是把數學變得容易一些的第一個要求。

現在考試的方式多、題量大，鉆牛角尖的題也多。一個多小時要做幾十道題目，這就要求學生手快，平時把方法、公式都背熟，不允許考生反復思考。華羅庚先生說，他小時候學數學是這樣學的:人家1個小時能做的題目，他要花4個小時才想通，然后他就有很大的收獲了。按照現在出題目考試的方式，一般不留給學生充分思考的時間，原因之一是課本上的一些東西有可乘之機。如果從根本上、定義上讓他們沒有犯錯的可能，就可以使數學變得容易一些。我認為這是最基本的，應該做到的。要簡化，這個簡化不是少學某些知識，而是要突出關鍵的。不要斤斤計較某些概念，比如說什么叫方程……反正就是這個問題，就看你是否會用，能否做出來。古代許多大數學家，用今天的標準看，許多概念是不清楚的，但有許多新的發現，做出了巨大的貢獻。

還有追求嚴格性的問題。吳文俊先生在一次會上講，學幾何要嚴謹是吹牛，歐幾里得的幾何從來就不嚴謹，而且提到了希爾伯特作了改進以后，教科書上也做不到嚴謹。為什么呢?舉個例子，證明平行四邊形對角線互相平分，要用到“兩條直線平形則內錯角相等”的定理。但是，你怎么知道哪兩個角是內錯角?你證明了沒有?要證明是內錯角，就要證明有兩個點是對角線的兩側，而這是非常難證明的。沒有哪一本教科書(包括歐幾里得的原本)證明了它是內錯角的，都是直觀看出來的。我們主張，學幾何不要強調它的公理、它的嚴謹，而要強調它的思想和方法。用幾個基本原理，可以解決許多問題，這就是思想方法的高明。基本原理對了，不要追求細節，可以查文獻，歷史上許多數學家的重要論文都是不嚴謹的，關鍵要有新思想。牛頓的微積分不嚴謹了200年，后來讓別人給“嚴謹”了。如果那200年要嚴謹的話，微積分就無法發展了，最主要的是要有新思想。

我主張不要制造人為的困難，還要搞點人為的“容易”。什么叫“容易”?我認為“容易”對學生來說，就是具體、熟悉，而不是抽象、陌生。一個人感到什么東西很難，是因為對它比較陌生。如果你來到新的城市，你可能一時找不到要去的地方，因為你以前沒到過這里。如果你住幾年了，你就感到很容易了。所以“容易”和“難”，取決于熟悉與不熟悉，熟悉了的東西感到是容易的，陌生的東西則感到是很抽象的。所以我們給學生講數學或編書時，首先要想到學生頭腦里熟悉的是什么。