數學建模的教學實驗與思考

梅 梅

一、實驗背景與目的

高中數學課程標準指出,高中數學課程應力求使學生體驗數學在解決實際問題中的作用、數學與日常生活及其他學科的聯系,促進學生逐步形成和發展數學的應用意識,提高實踐能力.

為貫徹落實這新課程精神,我特地設立函數模型專題的教學實驗,目的是通過例題和案例的分析來培養學生應用數學的意識,加強函數建模訓練:引導學生親身體驗數學建模過程,學會實際問題的建模方法,掌握解答應用題的基本步驟;幫助學生閱讀、理解對問題進行陳述的材料,理解問題的背景;教會學生分析題目中的數量關系,并能從實際問題出發,恰當地引入變量,運用已有的數學知識和方法,將數量關系用數學符號表示出來,建立函數式(包括定義域),將應用問題轉化為數學問題求解,并準確地將所求結果表述為實際問題.

二、實驗內容

1. 向學生簡單介紹數學建模的知識.

(1)數學建模是什么?數學建模的對象有許多是應用題,但數學建模所涵蓋的范圍比應用題要大得多.廣義看,數學的許多分支的產生和發展都經歷了一個從“問題——建模——擴展完善模型——應用——新的問題和更廣泛的模型……”這樣一個過程.我們學過的和即將要學習的函數、向量、坐標系、方程組都可以看作是解決一類問題的數學模型.比如二元一次方程是雞兔同籠的數學模型,一次函數是勻速直線運動的數學模型,一筆畫是解決七橋問題的數學模型,等等.常見的文字應用題的求解過程常常是找出相應的函數或方程(組)模型,再用之求解.粗略地看,狹義的數學建模處理的對象是一些復雜的應用問題,它需要你自己去挖掘、采集有用信息,自己去提出模型的假設;問題求解的方式多種多樣,目標可以有不同的層次,結論也常常需要在多次反復中得到修正.

(2)怎樣建立數學模型?建模要由變量之間的依存關系建立函數關系,解題的關鍵在于正確分析問題中量與量之間的內在本質聯系,抓住主要因素進行抽象,其基本步驟是“四步八字”,即:①審題:弄清題意,分清條件和結論,理順數量關系,初步選擇模型;②建模:將文字語言轉化為數學語言,利用數學知識,建立相應的數學模型;③求模:求解數學模型,得出數學結論;④還原:將利用數學知識和方法得出的結論,還原為實際問題的意義.

(3)常見的函數模型有哪些?一是代數函數模型,這是一種較為簡便的函數模型,在這種模型中,變量與變量之間滿足一個代數方程;二是指數函數模型,這種指數函數模型的特點是:當一個變量算術地增長時,另一變量則按一定的比例倍數地增長.

2. 例題與案例選講(略).

3. 布置相關練習題與假期探究設計題(練習題略),探究設計題如下:改編我們課本或練習中的應用題;購買同一種商品是大包裝還是小包裝經濟;制作立體幾何模型或工藝品;對私人購車的預測與討論;尋找紅綠燈變化的時間與車流量的關系;對考試成績的分析與處理;尋找某幾個學科的成績之間的關系;怎樣處理我們的利是最好;怎樣儲蓄獲得的利息多;坐長距離出租車怎樣付費劃算;尋找工廠里的數學問題;通過調查本街道或本區的人口變化情況,或者查閱有關人口的資料以及電腦網絡(可參考提供的書籍和網址,或利用搜索引擎查找),了解我國、我國某地區或世界某地區的人口情況,建立函數模型來預測未來的人口變化情況.

另外也可讓學生結合生活實際研究一些自己感興趣的問題,或者上網尋找自己樂于研究的問題,如節約能源(怎樣燒開一壺水更省天然氣)、生態問題(草食動物和肉食動物的平衡)、綠化問題(控制栽樹和伐樹的比例保護環境),等等.

要求:學生可以自己發現或提出某些問題,甚至解決問題;學生可以單獨解決某一個問題,也可小組分工合作,共同研究;可以利用圖形計算器、電腦等各種工具進行探究;解決問題的方式可以是小論文、模型或研究報告.

三、成果展示與交流

先收集學生的作品,然后將探究設計題分幾個類型分期進行交流.

例如學生用幾何畫板進行數據擬合,驗證數學物理成績的相關性(如圖,這是一個學生的作品,把兩個成績分別作為橫縱坐標描出散點圖,并得出回歸方程).

教師點評:能利用數學的統計規律去解釋生活現實,具備一定的數學應用意識.

又如學生研究人口問題, 一研究小組的研究報告如下:

教師點評:這四名學生能夠積極查資料,進行調查研究,并認真對數據進行分析處理,通過大量的運算比較,終于得到相對較接近的模擬函數,其研究探索的科學精神和學習的態度值得贊揚.

四、實驗后反思

1. 高中數學應用和數學建模可以以多種形式展開,即結合正常的課堂教學,在部分環節上“切入”應用和建模的內容:在集合部分可切入計數問題,體育比賽的場次問題等;在函數部分可切入校車設站問題,線性擬合,同種商品按包裝大小的定價問題等;在數列部分切入人口增長,資產折舊,生物種群的變化,存款、還貸、分期付款等問題;在立體幾何部分可切入模型制作大賽,電視天線的布線,電視塔與衛星問題,電纜求長,等等.

2. 應多引導學生在平時的學習中結合生活實際,挖掘教材中的素材,提出問題,創設問題情景,積極主動地分析、探究、交流與實踐,有針對性地開展一些研究性學習課題,學會用現代計算工具進行探究活動.

3. 在平時的教學中應該注重多從具體的事物提煉數學問題,引導學生用數學知識來解決日常生活中的一些問題,幫助學生形成應用數學的意識,逐漸讓學生從生活經驗和已有知識中學習數學和理解數學.

責任編輯 羅 峰