“運算定律與簡便計算”教材解讀

徐水琴

人民教育出版社出版的義務教育課程標準四下實驗教材,是以整套實驗教材的編寫思想、編寫原則為指導,力求使教材的結構符合數育學、心理學的原理和學生的年齡特征,教材的編寫內容具有關注學生的經驗與體驗,體現知識的形成過程,鼓勵算法及解決問題的策略多樣化,改變學生的學習方式,體現開放性的教學方法等特點。其中,“運算定律與簡便計算”這部分教材的編寫就很好地體現了這樣的編寫意圖。

這部分教材在編排上具有以下幾個主要特點。

1.有關運算定律的知識相對集中,有利于學生形成比較完整的認知結構

這部分教材的主要內容是加法、乘法的交換律與結合律,乘法對于加法的分配律,以及這五條運算定律的一些比較簡單的運用。

加法和乘法的這五條運算定律,不僅適用于整數的加法和乘法,也適用于有理數的加法和乘法。隨著數的范圍的進一步擴展,在實數甚至復數的加法和乘法中,它們仍然成立。因此,這五條運算定律在“數與代數”領域中具有重要的地位和作用,被譽為“數學大廈的基石”。

學生在前面的學習中,已經接觸到了反映這五條運算定律的大量例子,特別是對于加法、乘法的可交換性、可結合性,這些經驗構成了學生學習這部分知識的認知基礎。因此,將這五條運算定律及其應用集中于一個單元,加以系統編排,便于學生感悟知識之間的內在聯系與區別,有利于學生通過系統學習,構建比較完整的知識結構。

教材的編寫分為三小節,內容結構如下:

2.從現實的問題情境中抽象概括出運算定律,便于學生理解和應用

這部分教材的一個鮮明特點是,不再僅僅給出一些數值計算的實例,讓學生通過計算發現規律,而是結合學生熟悉的問題情境,幫助學生體會運算定律的現實背景。

如加法運算定律,教材從李叔叔騎自行車旅行的情境引出三道例題,分別求李叔叔上下午的路程和、前三天的路程和、后四天的路程和,為學生提供了概括加法交換律和結合律及其應用的具體事例。進一步,再讓學生自己舉例,并敘述所發現的規律。然后讓學生用自己喜歡的方法表示規律,而不是像過去那樣,統一用字母來表示。這樣編排,一方面有利于符號感的培養,且方便記憶;另一方面提高了知識的抽象概括程度,也為以后正式教學用字母表示數打下初步的基礎。

乘法運算定律則以學生參加植樹活動的情境為載體設置主題圖,由圖引出三道例題,為概括乘法交換律、結合律和分配律提供具體的事例。三個例題在教學內容的處理上與教學加法運算定律的兩個例題類似。這樣編排,能使學生在解決問題的同時,發現、感悟、描述規律。

同時,教材在練習中還安排了一些實際問題,讓學生借助解決實際問題,進一步體會和認識運算定律。例如,練習六中的第3題和第4題是乘法運算定律在生活中的實際運用。第4題除了文字提供的信息外,還要引導學生從圖中獲得解決問題所必需的信息,即新教學樓有4層,再引導學生思考怎樣算比較簡便。第3題,可以用50×2先算一個來回游了多少米,再乘7;第4題先算25×4(可解釋為4層,每層各取一個教室需配多少套課桌椅)再乘7。從而使學生初步體會運算定律在現實生活中的實際意義。

3.重視簡便計算在現實生活中的靈活應用,有利于提高學生解決實際問題的能力

在理解和掌握了五條運算定律的基礎上,教材安排了進一步學習整數四則運算中的一些簡便計算。值得一提的是,教材改變了以往簡便計算以介紹算法技巧為主的傾向,著力引導學生將簡便計算應用于解決現實生活中的實際問題,同時注意解決問題策略的多樣化。這對發展學生思維的靈活性,提高學生分析問題、解決問題的能力,都有一定的促進作用。

教材一共安排了五道例題。例1和例2討論加減法運算中常用的簡便計算,例3和例4討論乘除法運算中常用的簡便計算,例5主要討論乘、加運算中常用的簡便計算。也就是說,例1至例4只涉及同級運算,例5則涉及兩級運算。

在這五道例題中,例1和例3討論的連減、連除運算中的簡便計算,過去的小學數學教材中也有同樣的內容。新教材主要著眼于通過不同解法的比較,使學生認識一個數連續減去或除以兩個數,可以改為減去兩個數的和或除以兩個數的積,還可以交換兩個減數或兩個除數的位置再減或再除。

如:172-56-72=172-72-56=100-56=44

172-56-44=172-(56+44)=172-100=72

560÷35÷8=560÷8÷35=70÷35=2

700÷25÷4=700÷(25×4)=700÷100=7

即 a-b-c=a-c-b a÷b÷c=a÷c÷b

=a-(b+c)=a÷(b×c)

教材并沒有把它們概括為減法的運算性質或除法的運算性質。在具體的教學中,學生受加法交換律、結合律和乘法交換律、結合律的啟發,用知識遷移的方法把它們概括為連減的交換律和結合律,連除的交換律和結合律。為了鼓勵學生這種主動學習、主動探究的意識,我肯定了學生的這些想法,同時告訴學生這其實是減法和除法的兩個運算性質。

相對而言,其他三道例題的問題情境較為新穎,解決問題的策略較為靈活,在過去的小學數學教材中比較少見。如,例2設計的“書店的一角”。題中包含兩個問題:(1)價錢分別為56元、31元、19元、24元的四本書中,哪三本的總價在100元左右?(2)付100元,買48元、47元的書各一套,應找回多少錢?顯然,這是兩個需要綜合應用加減計算的實際問題,而且解決問題的策略具有較大的靈活性。問題(1),教材提示了兩種算法。一種是把每三本書的價錢相加。采用這種方法,學生遇到的困難是,四本書取三本書共有幾種情況?這是一個組合問題,回答這個問題,如果直接從四本書中每次取三本,要做到不重不漏,思考難度較大。如果反過來思考,四本書中取三本,也就是從四本書中每次去掉一本,就很容易得出共有四種情況。這種反過來思考的間接思路,用于計算三本書的總價,就是教材提示的第二種算法。問題(2),學生容易想到的算法是連減或減去兩個價錢的和。因此,教材只提示了第三種另辟蹊徑的方法,把100分成兩個50。由于兩套書的價錢都略小于50,所以這種方法顯得比較簡便、巧妙。

例5設計的是幾位科學家在野外考察的情景圖。圖下有3~7月份的月歷,并標出了科考隊的出發日期、計劃返回日期和實際返回日期,然后提出問題“科考隊這次考察一共花了多少時間”?教材介紹了按月計算和按周期計算兩種思路,以及相應的列式計算過程。按月計算的算式是31×2+30×2+26,按周計算的算法是7×21+26,在按月計算的過程中,運用了乘法分配律。然后通過小精靈,鼓勵學生提出自己的算法,和同學交流。學生容易想到的是按月計算的思路,根據已知的出發、返回時間,可以知道整個3、4、5、6月都在外面,7月有26天在外。要注意的是3至6月中有兩個大月(有31天的月)、有兩個小月(有30天的月)。學生列出的算式可能有以下幾種,如:31+30+31+30+26、30×4+2+26、31×3+30×2-5、30×5+3-5、31×5-7……只要是對的,都應當給予肯定。按周計算的思路不難理解,但計數一共有多少周比較容易出錯。可以讓同桌互相指著月歷邊點邊數,也可以請能正確計數的同學介紹自己是怎樣數的。