中學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)中的開(kāi)放題

袁玉清

一段時(shí)期中,“問(wèn)題解決”成為我國(guó)數(shù)學(xué)教育界的重要議題,現(xiàn)在把議題轉(zhuǎn)移到開(kāi)放題上來(lái),可以認(rèn)為是“問(wèn)題解決”研究的進(jìn)一步深入,本文擬對(duì)開(kāi)放題的含義以及怎樣在中學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)中引入開(kāi)放題的問(wèn)題作初步探討。

一、什么是開(kāi)放題

在對(duì)開(kāi)放題的討論中,對(duì)于什么是開(kāi)放題,大家的意見(jiàn)尚不一致,因而有必要對(duì)開(kāi)放題的含義作一個(gè)規(guī)定。此外,有的同仁把某些探索性問(wèn)題也歸入開(kāi)放題,雖然對(duì)探索題的研究具有公認(rèn)的意義,但在討論與研究開(kāi)放題的時(shí)候,有必要把這兩者加以區(qū)別。

以下是一些學(xué)者關(guān)于什么是開(kāi)放題的論述:

(1)答案不固定或者條件不完備的習(xí)題,我們稱為開(kāi)放題;

(2)開(kāi)放性題是條件多余需選擇、條件不足需補(bǔ)充或答案不固定的題;

(3)有多種正確答案的問(wèn)題是開(kāi)放題。這類問(wèn)題給予學(xué)生以自己喜歡的方式解答問(wèn)題的機(jī)會(huì),在解題過(guò)程中,學(xué)生可以把自己的知識(shí)、技能以各種方式結(jié)合,去發(fā)現(xiàn)新的思想方法;

(4)答案不唯一的問(wèn)題是開(kāi)放性的問(wèn)題;

(5)具有多種不同的解法,或有多種可能的解答的問(wèn)題,稱之為開(kāi)放性問(wèn)題;

(6)問(wèn)題不必有解,答案不必唯一,條件可以多余。

考察以上論述,關(guān)于開(kāi)放題的條件的描述有:不完備;可以多余;多余需選擇,不足需補(bǔ)充;等等。

關(guān)于開(kāi)放題的答案(結(jié)論、解法)的描述有:不固定;有多種;不唯一;不必唯一;不確定;不必有解;等等。

從上可知,雖然對(duì)問(wèn)題條件的描述多種多樣,但對(duì)答案的看法比較一致:答案不唯一。筆者認(rèn)為:(1)問(wèn)題的“結(jié)論”是在問(wèn)題系統(tǒng)內(nèi)部相對(duì)于問(wèn)題的“條件”而言的,不能與問(wèn)題的“答案”概念混淆,問(wèn)題的“答案(解法)”是相對(duì)于整個(gè)問(wèn)題而言的;(2)對(duì)于問(wèn)題的條件不作太多的限定,對(duì)問(wèn)題的答案給以寬松的環(huán)境,但要求是多樣化的,豐富多彩的,這正是開(kāi)放的含義所在。所以,筆者認(rèn)為對(duì)開(kāi)放題可以作出以下簡(jiǎn)明的描述:答案不唯一的問(wèn)題稱為開(kāi)放題。開(kāi)放題的一個(gè)顯著特征是:答案的多樣性(多層次性)。

一個(gè)問(wèn)題是開(kāi)放還是封閉常常取決于提出問(wèn)題時(shí)學(xué)生的知識(shí)水平如何。例如,對(duì)n個(gè)人兩兩握手共握多少次的問(wèn)題,在學(xué)生學(xué)習(xí)組合知識(shí)以前解法很多,是一個(gè)開(kāi)放題,在學(xué)習(xí)組合知識(shí)之后則是一個(gè)封閉題。此外,對(duì)一個(gè)開(kāi)放題來(lái)說(shuō),解決問(wèn)題的方法的種數(shù)和解決問(wèn)題的思維水平層次是兩個(gè)基本的指標(biāo)。因而,可以引入問(wèn)題的開(kāi)放度(OpeningDegree)概念:OD(相對(duì)于知識(shí)的時(shí)機(jī),方法≥x,水平≥y)。上面,“相對(duì)于知識(shí)的時(shí)機(jī)”是我們對(duì)這個(gè)問(wèn)題的一個(gè)注解,說(shuō)明我們何時(shí)用這個(gè)問(wèn)題,可指明是在學(xué)生學(xué)習(xí)了某一知識(shí)內(nèi)容之前,還是學(xué)生學(xué)習(xí)了某一知識(shí)內(nèi)容之后,或者是在某一個(gè)學(xué)習(xí)階段,例如在初中一年級(jí)、整個(gè)高中階段等;“方法≥x”是對(duì)解決問(wèn)題的方法種數(shù)的描述;“水平≥y”是對(duì)解決問(wèn)題的思維水平層次的描述。

在一些討論中常常把開(kāi)放題與探索題混同起來(lái),可能會(huì)對(duì)開(kāi)放題的研究帶來(lái)影響,有必要把兩者予以區(qū)別。一般地,探索題是指條件完備,結(jié)論未給出而需要學(xué)生進(jìn)行探索,猜想并加以證明的問(wèn)題。當(dāng)然,開(kāi)放題集合與探索題集合的交集應(yīng)該是非空的。

二、教科書(shū)中的開(kāi)放題

教科書(shū)是教師組織教學(xué),學(xué)生學(xué)習(xí)的主要依據(jù)。教科書(shū)中引入開(kāi)放題,將對(duì)教學(xué)產(chǎn)生較大影響,并有力地加快在教學(xué)中引入開(kāi)放題的進(jìn)程。在由我室編寫(xiě)的《九年義務(wù)教育三年制初級(jí)中學(xué)教科書(shū)》《義務(wù)教育初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課本》《高級(jí)中學(xué)試驗(yàn)課本》《全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書(shū)(試驗(yàn)本)》等教科書(shū)中,都已編入了一些開(kāi)放題,但形式比較單一,數(shù)量也偏少。我們要在認(rèn)真研究的基礎(chǔ)上積極而慎重地引入開(kāi)放題,以促進(jìn)中學(xué)數(shù)學(xué)開(kāi)放題教學(xué)。怎樣在教科書(shū)中引入開(kāi)放題是一個(gè)重要問(wèn)題,希望大家一起來(lái)討論研究。

作者單位:四川省中江縣南華鎮(zhèn)中學(xué)