在列方程、解方程和解決問題中學習方程

朱春雷

教學內容:蘇教版小學數學教科書(六上)第1頁的例1和“練一練”,“練習一”的第1～5題。

教學目標

1.使學生在解決實際問題的過程中,理解并掌握形如ax±b=c方程的解法,會列上述方程解決兩步計算的實際問題。

2.使學生在觀察、分析、抽象、概括和交流的過程中,經歷將現實問題抽象為方程的過程,進一步體會方程的思想方法及價值。

3.使學生在積極參與數學活動的過程中,養成獨立思考、主動與他人合作交流、自覺檢驗等習慣。

教學重點:理解并掌握形如ax±b=c方程的解法,會列方程解決兩步計算的實際問題。

教學難點:如何指導學生在觀察、分析、抽象、概括和交流的過程中,將現實問題抽象為方程。

教學過程

課前談話導入:同學們,經調查,我們班大部分同學的年齡是12歲(虛歲),也可以通過推理推算出來,7歲入學,在學校學了五年,正好是12歲。老師今年是39歲,師在黑板上板書39和12。下面請同學比較一下老師和你的年齡,并用一句話把比較的結果說出來,注意啟發引導學生說出:“老師的年齡比我年齡的3倍還多3歲”,“老師的年齡比我年齡的4倍少9歲”。兩種說法都可以。接著問,明年呢?“老師的年齡比我年齡的3倍還多1歲”。

【設計意圖】通過學生熟悉的年齡話題引入,并訓練學生對兩數大小比較,為新課分析數量關系作理解鋪墊。把抽象的數量關系分析生活化,利于學生進入學習情境。

一、在現實問題情境中分析數量關系,列出方程,探索解方程的方法——教學例1

(一)在情境中分析數量關系,提出問題

1.師談話進入情境:孫悟空跟隨師父歷盡千辛萬苦從西天取來大量經書,藏在古城西安的大雁塔中。大雁塔和小雁塔是著名的古代建筑。(出示大雁塔和小雁塔的圖片)這節課,我們先來研究一個與這兩處建筑高度有關的數學問題。(出示例1的一部分“西安大雁塔的高度比小雁塔高度的2倍少22米”,暫不出示所求的問題)

2.師讓生讀出這段文字并提問:誰比誰少22米?讓學生明白“大雁塔高度和小雁塔高度的2倍比,少22米,可以把小雁塔高度的2倍看做一個整體。”

師進一步啟發:這句話清楚地說明了大雁塔和小雁塔高度之間的關系,請同學們用數量關系式表示出大雁塔和小雁塔高度之間的相等關系。

出示學生可能想到的等量關系式:①小雁塔的高度×2-22=大雁塔的高度;②小雁塔的高度×2=大雁塔的高度+22;③小雁塔的高度×2-大雁塔的高度=22。

3.引導學生觀察第一個等量關系式。師:經測量小雁塔高度是43米,你能利用這個關系式口答出大雁塔的高度嗎?學生口答,師板書:2×43-22=64(米)。

【設計意圖】運用數量關系直接求出高度,體會順向思維。既感受數量關系的價值,又為下面的逆向思維作出對比準備,更重要的是讓學生在下面列方程時也要像這樣順向思維進行思考。

4.師:如果知道大雁塔的高度是64米,你能提出什么問題?

生:小雁塔的高度是多少米?(出示“大雁塔高度是64米”和“小雁塔高度是多少米?”把例1補充完整。)

【設計意圖】在清楚數量關系的基礎上,學生已經把問題遷移到需要用逆向思維考慮解決的問題上。讓學生自己提出問題,突出解決問題是學生自己的學習需求,也為他們探索解答作出心理準備。

(二)根據等量關系布列方程,同時喚起有關方程的舊知

1.生觀察第一個等量關系式,師提問:在這個等量關系式中,這時哪個數量是已知的?哪個數量是我們去求的?

追問:讓你求小雁塔的高度怎么辦呢?我們可以用什么方法來解決這個問題?

生:可以列方程解答。如果學生列出正確的算式進行解答,師給予肯定,再引導學生用方程的方法解決問題。

師明確方法,并提示課題:這樣的問題可以列方程來解答。今天我們繼續學習列方程解決實際問題。(板書課題:列方程解決實際問題)

2.師談話:我們在五年級已經學過列方程解決簡單的實際問題,結合今天我們學習的內容,誰來說一說列方程解決實際問題一般要經過哪幾個步驟?

生能大概說出“寫設句、列方程、解方程和檢驗等即可。

3.讓學生先自主嘗試設未知數,并根據第一個等量關系式列出方程。

解:設小雁塔高x 米。

2x-22=64

【設計意圖】經歷由現實問題抽象為方程的過程。在建構數學模型的過程中,先由情境抽象成數量關系式,再根據數量關系式列出方程,實現了學生在逐步抽象的過程中學習數學的方法,體現了數學的簡潔性和學習數學的必要性。

(三)自主探索解方程的方法,體會轉化的思想

提問:這樣的方程,你以前解過沒有?運用以前學過的知識,你能解出這個方程嗎?

交流中明確:首先要應用等式的性質將方程兩邊同時加上22,使方程變形為2x=?,即把用兩步計算的方程轉化為一步計算,變新知為舊知,再用以前學過的方法繼續求解。

要求學生接著例題呈現的第一步繼續解出這個方程。學生完成后,組織交流解方程的完整過程,核對求出的解,并提示學生進行檢驗,最后讓學生寫出答句。

【設計意圖】讓學生在自主探索方程解法的過程中,體會運用轉化策略,把兩步轉化成一步、復雜轉化成簡單、新知轉化成舊知。

(四)思考其他方法,感受解法的多樣化

1.提問:還可以怎樣列方程?

學生列出方程后,要求他們在小組內交流各自列出的方程,并說說列方程的根據,以及可以怎樣解列出的方程。如果學生不能列出其他方程,師不能作硬性要求。

2.引導小結:剛才我們通過列方程解決了一個實際問題。你能說說列方程解決問題的大致步驟嗎?其中哪些環節很重要?

引導學生關注:⑴要根據題目中的信息尋找等量關系,而且一般要找出最容易發現的等量關系;⑵分清等量關系中的已知量和未知量,用字母表示未知量并列方程;⑶解出方程后要及時進行檢驗。(師板書:找等量關系;用字母表示未知數并列方程;解方程,檢驗。)

【設計意圖】通過解法的多樣化,使學生明白可以根據自己學習實際和思維習慣分析數量關系,列方程解決問題,同時訓練學生思維,拓展學生解決問題的思路。

二、自主嘗試列方程解決實際問題,注意比較例題,進一步形成解決問題模式——自主合作學習“練一練”

“杭州灣大橋是目前世界上最長的跨海大橋,全長大約36千米,比香港青馬大橋的16倍還長0.8千米。香港青馬大橋全長大約多少千米?”

談話:我們已經初步掌握列方程解決稍復雜的實際問題的方法和步驟,下面就請同學們試著解決一個實際問題。做“練一練”。

1.先讓學生讀題,并設想解決這一問題的方法和步驟,然后讓學生獨立完成。

2.小組合作交流。交流前要出示交流順序提示:⑴說說找出了怎樣的等量關系;⑵根據等量關系列出了怎樣的方程;⑶是怎樣解列出的方程的;⑷對求出的解有沒有檢驗。

3.最后讓學生核對自己的答案,檢查自己的解題過程。

針對學生不同的思路和方法(包括用算術方法),教師在提出主導意見的基礎上要予以肯定。

4.啟發思考:這個問題與例1有什么相同的地方?有什么不同的地方?提煉出列方程解決稍復雜的實際問題的基本思路和解形如ax±b=c方程的一般方法。

【設計意圖】讓學生在獨自解決問題的過程中學會解決問題,在探究中學會合作。

三、運用方程策略獨立解決實際問題,牢固形成解決問題模式(建構牢固的數學模型)——做“練習一”的第1～5題

談話:在列方程解決問題的過程中,有兩個方面要引起我們重視,一個是尋找等量關系,能用含有字母的式子表示具體數量;另一個就是解方程。下面我們就對這兩個方面進行進一步的學習和訓練。

1.做“練習一”第1題

“解方程。4x+20=56 1.8+7x=3.9 5x-8.3=10.7”

先讓學生說說解這些方程時,第一步要怎樣做,依據是什么,然后讓學生獨立完成。交流反饋時,要在關注結果是否正確的同時,了解學生是否進行了檢驗。(三個同學到黑板上板演,其他同學選做一題。)

2.做“練習一”第2題

“在括號里填上含有字母的式子。

(1)張村果園有桃樹x棵,梨樹比桃樹的3倍多15棵。梨樹有()棵。

(2)王叔叔在魚池里放養鯽魚x尾,放養的鳊魚比鯽魚的4倍少80尾。放養鳊魚()尾。

學生獨立完成后,再要求學生說說寫出的每個含有字母的式子分別表示哪個數量,是怎樣想到寫這樣的式子的?(把題目中的多、少改成少、多讓學生再表示)

3.做“練習一”第3題

“獵豹是世界上跑得最快的動物,時速能達到110千米,比貓最快時速的2倍還多20千米。貓的最快時速是多少千米?”

談話:同學們,我們既能準確地找到等量關系,又能正確解方程,那么我們就具備了解決實際問題的能力了。就請同學們獨立解決一個問題。

學生獨立完成后,指名說說自己的思考過程,進一步突出要根據題中數量之間的相等關系列方程。

4.課堂作業:做“練習一”的第4題和第5題。

“北京故宮占地大約72公頃,比天安門廣場的2倍少8公頃。天安門廣場大約占地多少公頃?”

“世界上最小的鳥是蜂鳥,最大的鳥是鴕鳥。一個鴕鳥蛋長17.8厘米,比一只蜂鳥體長的3倍還多1厘米。這只蜂鳥體長多少厘米?”

【設計意圖】在鞏固訓練和應用策略階段采用先部分后整體的練習步驟,進一步深化認識,并在體驗中達到知識和技能的內化。

四、總結列方程解決問題的思路、方法,體會方程的思想和價值——學生拓展設計

1.學生拓展設計

師:請同學們回到課前,我們師生關于年齡的對話中,看39歲和12歲,你能設計一個用今天所學的策略和方法解答的實際問題嗎?

師要多聽學生的發言,考慮學生所說數量之間的關系以及提出問題的貼切性并作出評價和概括。

2.今天這節課我們學習了什么內容?你有哪些收獲?還有沒有疑惑的地方?教師同時總結,方程是我們解決問題很重要的一個策略,正確地運用方程,能幫助我們解決很多實際問題,尤其是用算術方法不容易解決的一些問題。我相信同學們經過今天的學習,對方程會有更深的認識,并在以后的學習和運用中進一步學好和用好方程。

【設計意圖】在照應課前學習和學生拓展運用的基礎上,充分體會方程的思想和價值,把學生的認識進一步提升,對方程有較為全面的理解和掌握。