九的乘方循環

安　東

中國人喜歡“九”這個數字。唐代詩人劉禹錫在《浪淘沙九首》里寫道：

九曲黃河萬里沙，浪淘風簸白天涯。

如今直上銀河去，同到牽牛織女家。

民謠里也說“天下黃河九十九道彎”。實際上黃河的彎曲多得數不清，“九曲”或“九十九道彎”都只是用數字九來形容數量之多。

在數學里，數字9有很多有趣的性質。例如，如果一個數的各位數字都是9，那么它的平方就會出現一種循環：

9²=81，8+1=9；

99²=9801，98+01=99；

99²=998001，998+001=999；

9999²=99980001，9998+0001=99991

在上面這些等式中，把平方的結果分成左右兩半，再把這兩部分相加，所得的和正好等于原數。

如果把平方換成立方，會出現什么情況呢?咱們來試試看。

9³=729，7+2=9：

99³=970299，97+02=99；

999³=997002999，997+002=999。

下面一個輪到9999³了，不做運算，你能夠猜出得數來嗎?

按照以上三個式子類推，似乎應該是

9999³=999700029999，9997+0002=9999。

當然這只是一個猜想，究竟對不對，還要實際算出來才知道。

利用前面的平方的結果，可以很快算出結果：

9999³=9999²×9999

=99980001×9999

=(99980000+1)×9999=9998×10000×9999+9999

=(9999²-9999)×10000+9999

=(99980001-9999)×10000+9999

=99970002×10000+9999

=999700029999

計算結果與猜想一致，可見猜想正確。