緊扣“不變量”靈活解決問題

蔣明玉

題目在一個長24分米，寬9分米，高8分米的水槽中，注入4分米深的水，然后放入一個棱長為6分米的鐵塊。水位上升了多少分米?

分析與解有的同學會按照常規思路來解答，先求出這個棱長為6分米的鐵塊的體積：6×6×6=216(立方分米)，然后認為上升水的體積等于鐵塊的體積。所以，水位上升了6×6×÷(24×9)=1(分米)。這樣做，就已經認定鐵塊完全浸沒在水中了。

實際上，由于原來的水深只有4分米，而鐵塊的棱長卻是6分米，所以當一個棱長為6分米的鐵塊放入水槽中，鐵塊不一定完全浸沒在水中。那么，如何解答呢?

思路一原來有水24×9×4=864(立方分米)，當鐵塊放入水槽中，水位上升了，但是水的體積還是864立方分米。抓住了這個不變量，就可以巧妙解決問題。不妨設現在水位一共是×分米。

那么將浸沒在水中的鐵塊體積和原來水的體積合在一起算，兩者一共的體積就是24×9×X，而浸沒在水中的鐵塊體積是6×6××，所以用一共的體積減去浸沒在水中的鐵塊體積等于原來水的體積。得方程：

24×9××——6×6××=24×9×4

180×=864

X=4×8

因此，水位上升了4.8-4=0.8(分米)。

思路二換個角度，發揮想象，這樣想：當鐵塊放入水槽中，就會有6×6×4=144立方分米的水被鐵塊擠占而要往上移，從而導致水面上升，上升的水的體積就等于被鐵塊擠占的那部分水的體積，這里也有一個不變量(等量)。但上升的水不是一個長方體，而是一個以24×9—6×6為底面的柱體，所以上升的高度為：6×6×4÷(24×9—6×6)=0.8(分米)。

可見，緊扣“不變量”是靈活解決問題的關鍵，這種思想在解決復雜問題中經常用到。

練一練一個水池的長是80厘米，寬是50厘米，高是50厘米，里面的水深是20厘米。現在往水池里放入一塊棱長為40厘米的正方體石塊。水位上升了多少厘米?