數形結合思想

黃世芳

【摘要】探討運用數形結合的思想分析解決問題。

【關鍵詞】數形結合;思想;分析;解題

The few forms combine thought

Huang Shi-fang

【Abstract】Study usage the few forms combine of thought analysis work°out a problem

【Key words】The few forms combine;Thought;Analysis;Solution

1.數形結合是一種數學

一是,把抽象的數(代數式)與直觀的“形”(幾何圖)結合起來,問題容易理解,思路易于掌握;在我們所學的很多代數式中都有顯著的幾何意義,對它們進行數形結合,往往能突破難點,找到簡單的解題技巧。易于數形結合的問題往往集中在:函數的最值,曲線的交點,比較數的大小、角、直線的斜率等方面。數與形的結合,相互滲透,把代數式的精確刻劃與幾何圖形的直觀描述結合起來,從而使幾何問題代數化,代數問題幾何化;使抽象思維和數形結合起來,減少大量的計算過程。

2.數形結合在近幾年的全國高考試題中占有非常重要的地位,所以我們必須注意數形結合的特點。

數與形是一對矛盾,可以相互轉化,主要有三個途徑:一是通過坐標系統的建立(或數軸)例如:y=|x+3|+|x-4|的最值,|x+3|+|x-4|表示數軸上的點x到-3和4的兩點的距離之和,顯然最小值為4-(-3)=7故函數f(x)的最小值為7,二是轉化,將 @轉化位點(x,y)與(1,0)的直線斜率;三是構造,即可構造幾何模型,構造函數或構造一個圖形,例如:求sin180的值,可以構造一個頂角為36@的等腰三角形,利用相似三角形性質而得出sin180=。

3.例題分析:

1.已知函數f(x)=log2(x+1)且a>b>0 求 的大小關系

解:作函數f(x)=log2(x+1)的圖象,由 表示圖上的點與原點連線的斜率,所以

點評:這是一道典型的數形結合題, 的幾何意義是兩點(x,f(x))、(0,0)連線的斜率,利用斜率的大小解題即直觀又快捷。

例2.比較0.32,log20.3,20.3這三個數的大小。

解:在同一坐標系中畫出函數y=x2,y=log2x,y=2x的圖象,如圖令x=0.3時顯然有log20.3<0.32<20.3。

點評:這是一道考查函數的基本概念,本題利用函數的圖象的對應關系,即可判斷大小,使問題簡單化。

例3.已知 a>0且a≠1,試求使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的k的取值范圍。

解:本題的要求是對上述方程中的參數k進行討論,因此可構造出函數的圖象,在運動中加以解決會使解題思路更加簡捷明了,根據對數函數的性質有: 設y1=x-ak,y2= ,如圖y1是斜率為1截距為-ak的平行線束,y2是等軸雙曲線上方的部分,要使y1,y2的圖象有交點,須-ak>a或-a<-ak<0即k<-1或0

點評:此題應用了直線與曲線有無交點。即數與形的結合解題,減少了大量的計算,從而使問題很好的解決。

例4.已知函數f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖象如圖,則b的取值范圍是。

解:由圖可知函數f(x)的圖象經過點(0,0),(1,0),(2,0),所以f(x)=a(x-2)?x?(x-1)=a(x3-3x2+2x)= ax3-3ax2+2ax即b=-3a,又由圖形可知a>0,∴b<0。點評:從圖形中捕捉有用的條件,是將形化數的關鍵。

4.方法總結:

運用數形結合的思想分析解決問題時,要把握三個原則:①是等價性原則,要注意由于圖形不能精確刻畫數量關系帶來的多面效應。②是雙向性原則:也就是數與形的互相轉化。③是簡單性原則,不要為了“數形結合”而數形結合,而取決于有效,簡捷和更易達到教學目的。數形結合能解決好數學習題,望我們掌握好,它能幫助我們快捷、準確的解好數學,更能提高我們的思維方式。

收稿日期:2009-05-12

作者地址:青海省門源女中810300