談?wù)劧魏瘮?shù)在高中階段的應(yīng)用

李 營

二次函數(shù)是高考的重點(diǎn)內(nèi)容,可以說每年必考。但是學(xué)生對(duì)它的掌握程度普遍不高。在初中教材中,雖然對(duì)二次函數(shù)作了較詳細(xì)的研究,但由于初中學(xué)生基礎(chǔ)薄弱,又受其接受能力的限制,這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)多是機(jī)械的,很難從本質(zhì)上加以理解。進(jìn)入高中以后,尤其是高三復(fù)習(xí)階段,要對(duì)他們的基本概念和基本性質(zhì)(圖象以及單調(diào)性、奇偶性、有界性)靈活應(yīng)用,對(duì)二次函數(shù)還需再深入學(xué)習(xí)。

一、還需進(jìn)一步理解函數(shù)的概念

初中階段已經(jīng)講述了函數(shù)的定義,進(jìn)入高中后在學(xué)習(xí)集合的基礎(chǔ)上又學(xué)習(xí)了映射,接著重新學(xué)習(xí)函數(shù)概念,主要是用映射觀點(diǎn)來闡明函數(shù),這時(shí)就可以用學(xué)生已經(jīng)有一定了解的函數(shù),特別是二次函數(shù)為例來加以更深認(rèn)識(shí)函數(shù)的概念。二次函數(shù)是從一個(gè)集合A(定義域)到集合B(值域)上的映射f:A→B,使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)與集合A的元素X對(duì)應(yīng),記為f(x)=ax2+bx+c(a≠0),這里ax2+bx+c表示對(duì)應(yīng)法則,又表示定義域中的元素X在值域中的象,從而使學(xué)生對(duì)函數(shù)的概念有一個(gè)較明確的認(rèn)識(shí),在學(xué)生掌握函數(shù)值的記號(hào)后,可以讓學(xué)生進(jìn)一步處理如下問題:

問題1:已知f(x)=2x2+x+2,求f(x+1)。

這里不能把理解為x=x+1時(shí)的函數(shù)值,只能理解為自變量為x+1的函數(shù)值。

二、掌握二次函數(shù)的單調(diào)性,在區(qū)間上的最值與圖象

在高中階段學(xué)習(xí)單調(diào)性時(shí),必須讓學(xué)生對(duì)二次函數(shù)y=ax2+bx+c在區(qū)間上(-∞,-■][-■,+∞)的單調(diào)性的結(jié)論用定義進(jìn)行嚴(yán)格的證明,使它建立在嚴(yán)密理論的基礎(chǔ)上。與此同時(shí),進(jìn)一步充分利用函數(shù)圖象的直觀性,給學(xué)生配以適當(dāng)?shù)木毩?xí),使學(xué)生逐步自覺地利用圖象學(xué)習(xí)二次函數(shù)有關(guān)的一些函數(shù)單調(diào)性。

問題2:畫出下列函數(shù)的圖象,并通過圖象研究其單調(diào)性。

(1)y=x2+2|x-1|-1

(2)y=|x2-1|

(3)y=x2+2|x|-1

這里要使學(xué)生注意這些函數(shù)與二次函數(shù)的差異和聯(lián)系。掌握把含有絕對(duì)值記號(hào)的函數(shù)用分段函數(shù)去表示,然后畫出其圖象。

問題3:設(shè)f(x)=x2-2x-1在區(qū)間[t,t+1]上的最小值是g(t)。

求:g(t)并畫出y=g(t)的圖象,并求 的最小值。

解:f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2,在x=1時(shí)取最小值-2

當(dāng)1∈[t,t+1]即0≤t≤1,g(t)=-2

當(dāng)t>1時(shí),g(t)=f(t)=t2-2t-1

當(dāng)t<0時(shí),g(t)=f(t+1)=t2-2

g(t)=t2-2,(t<0)-2,(0≤t≤1)t2-2t-1,(t>1)

再利用y=g(t)的函數(shù)圖像可以求出 的最小值是-2。

三、學(xué)習(xí)二次函數(shù)的知識(shí),可以鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

問題4:設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)方程f(x)-x=0的兩個(gè)根x1,x2滿足0

(Ⅰ)當(dāng)X∈(0,x1)時(shí),證明X

(Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=x0對(duì)稱,證明x0<■。

解題思路:本題要證明的是x

二次函數(shù),它有豐富的內(nèi)涵和外延。作為最基本的函數(shù),可以以它為代表來研究函數(shù)的性質(zhì),可以建立起函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系,可以設(shè)計(jì)出層出不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問題,用來考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和綜合數(shù)學(xué)素質(zhì),特別是能從解答的深入程度中,區(qū)分出學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法解決數(shù)學(xué)問題的能力。

作者單位:河南省滑縣第一高級(jí)中學(xué)