解題反思，學好數學的重要途徑

在平時學習中，我們常遇到這樣的情況：“這種題型講過n次，可考試時還是錯了！”究其原因，主要是因為我們為解題而解題，只重視解題的結果和數量，而不重視解題后的反思，更不重視思維能力的培養.通過反思，我們對解題的科學性、正確性、深層性有了更深的認識，既能牢固掌握知識，也能提高自己的解題能力.

一、反思解題的完善性，培養思維的深刻性

有的同學解完題后，沒有進行題后反思的習慣，不靜下心反思解題的方法、過程、變式，更沒有反思解題過程是否完善或者存在某個因素是否考慮，導致答案遺漏或解題錯誤，這種只重結果和數量的低效解題是同學們中一種嚴重的弊端，值得每一位同學重視.相反，如果我們能夠在解題后對解題的過程是否完善進行反思，不但可以減少錯誤，而且更能有效地培養我們思維的深刻性.

例1 設集合A={xx2-3x-10≤0}，B={xm+1≤x≤2m-1}，若A∪B=A，求實數m的取值范圍.

解：因為A={xx2-3x-10≤0}={x-2≤x≤5}，且A∪B=A，所以B？哿A.

又m+1≤2m-1，2m-1≤5，m+1≥-2，

解得：2≤m≤3，

所以，m的取值范圍是[2，3].

由A∪B=A，有B？哿A，在進行運算時，只考慮了B≠ ，而忽略B= 的情況，因此解題的過程并不完善，導致結果錯誤，必須補上B= 的情形，m+1>2m-1，得m<2，得到m的取值范圍是（-∞，3].

二、反思解題方法的多樣性，培養思維的廣闊性

高中數學知識模塊縱橫交錯，解題思路靈活多變，解題方法途徑繁多，但最終卻能殊途同歸.這樣即使一次解題合理正確，也不能保證解題思路就是最佳的.應進一步進行解題反思，探求一題多解和多題一解，開拓思路，勾通知識，掌握規律，權衡解法優劣，創造性地去學習、摸索、總結，使自己的解題能力更勝一籌.一題多解，各種解法可能會用到不同的知識點、不同的解法技巧.同時同一種解法又能解決很多問題，然后比較眾多解法中哪一種最簡潔、最合理？把本題的解法和結論加以推廣，這樣既可看到知識的內在聯系、巧妙轉化和靈活運用，又能得出一般方法和思路.在解題反思中要善于總結，掌握規律，探求共性，再由共性指導我們去解決碰到的這類問題.

例2 設P（x，y）是圓x2+y2=1上的任意一點，求u= 的最大值.

反思1：u= 與斜率公式結構相似，馬上聯想到u= 可看成圓上的點P（x，y）與點A（-1，2）連線的斜率，從而轉化為求直線PA的斜率的最大值，由數形結合可知，當直線PA與圓相切時，斜率最大（另一條切線的斜率不存在），易求得切線的斜率為k=- ，所以umax= - .

反思2：聯想函數與方程，由u= 得y-2=u（x+1），這是一條直線方程，根據題意，此直線與圓有公共點，因此y-2=u（x+1），x2+y2=1有解，消去y得（u2+1）x2+（2u2+4u）x+u2+4u+3=0，由Δ≥0得u≤- ，即umax=- .

反思3：聯想平面幾何知識，直線與圓有公共點，故圓心（0，0）到直線的距離d≤1，從而得出u≤- ，即umax=- .

反思4：聯想圓的參數方程，由于點P（x，y）在圓上，所以可令x=cosθ，y=sinθ，則u= ，即sinθ-ucosθ=u+2，

所以sin（θ-φ）= （其中tanφ=-u）. 利用正弦函數的有界性，得出u≤- ，即umax=- .

三、反思解題中錯誤的根源，培養思維的批判性

解數學題，出現錯誤在所難免，出現錯誤的因素多種多樣，有的因為審題不清，有的因為概念模糊，有的因為解題策略有誤，有的因為運算量大、計算馬虎等，解題出現錯誤并不可怕，關鍵是要重視錯誤，反思錯誤，找出錯誤的地方，是由于什么原因導致的，如何改正，給學生一個對基礎知識重新理解的機會，使學生在糾錯的過程中牢牢掌握基礎知識，在反思中不斷得到提高.

例3 已知圓的方程x2+y2+2x+ky+k2=0和某一定點P（1，1），要使過點P所作圓的切線有兩條，求k的取值范圍.

解：圓的方程可變為：（x+1）2+y+ = ，所以圓心坐標為-1，- ，半徑r= . 因為過P點要作圓的兩條切線，所以P點在圓外，即 > ，得到：k2+k+4>0？圯k+ + >0.

又對k∈R，k+ + >0恒成立，所以，k的取值范圍是R.

反思本例的解題錯誤，是由于對圓的一般方程這一概念不夠清楚，因為方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲線不一定是圓，也可能是一個點或沒有圖形，只有化成標準形式：

x+ +y+ = （D2+E2-4F），且D2+E2-4F>0時，此方程才表示圓，此題正是由于忽視這個條件導致錯誤，因此，必須同時滿足

4-3k2>0， > ，

解得：-

在平時學習中，我們常遇到這樣的情況：“這種題型講過n次，可考試時還是錯了！”究其原因，主要是因為我們為解題而解題，只重視解題的結果和數量，而不重視解題后的反思，更不重視思維能力的培養.通過反思，我們對解題的科學性、正確性、深層性有了更深的認識，既能牢固掌握知識，也能提高自己的解題能力.

一、反思解題的完善性，培養思維的深刻性

有的同學解完題后，沒有進行題后反思的習慣，不靜下心反思解題的方法、過程、變式，更沒有反思解題過程是否完善或者存在某個因素是否考慮，導致答案遺漏或解題錯誤，這種只重結果和數量的低效解題是同學們中一種嚴重的弊端，值得每一位同學重視.相反，如果我們能夠在解題后對解題的過程是否完善進行反思，不但可以減少錯誤，而且更能有效地培養我們思維的深刻性.

例1 設集合A={xx2-3x-10≤0}，B={xm+1≤x≤2m-1}，若A∪B=A，求實數m的取值范圍.

解：因為A={xx2-3x-10≤0}={x-2≤x≤5}，且A∪B=A，所以B？哿A.

又m+1≤2m-1，2m-1≤5，m+1≥-2，

解得：2≤m≤3，

所以，m的取值范圍是[2，3].

由A∪B=A，有B？哿A，在進行運算時，只考慮了B≠ ，而忽略B= 的情況，因此解題的過程并不完善，導致結果錯誤，必須補上B= 的情形，m+1>2m-1，得m<2，得到m的取值范圍是（-∞，3].

二、反思解題方法的多樣性，培養思維的廣闊性

高中數學知識模塊縱橫交錯，解題思路靈活多變，解題方法途徑繁多，但最終卻能殊途同歸.這樣即使一次解題合理正確，也不能保證解題思路就是最佳的.應進一步進行解題反思，探求一題多解和多題一解，開拓思路，勾通知識，掌握規律，權衡解法優劣，創造性地去學習、摸索、總結，使自己的解題能力更勝一籌.一題多解，各種解法可能會用到不同的知識點、不同的解法技巧.同時同一種解法又能解決很多問題，然后比較眾多解法中哪一種最簡潔、最合理？把本題的解法和結論加以推廣，這樣既可看到知識的內在聯系、巧妙轉化和靈活運用，又能得出一般方法和思路.在解題反思中要善于總結，掌握規律，探求共性，再由共性指導我們去解決碰到的這類問題.

例2 設P（x，y）是圓x2+y2=1上的任意一點，求u= 的最大值.

反思1：u= 與斜率公式結構相似，馬上聯想到u= 可看成圓上的點P（x，y）與點A（-1，2）連線的斜率，從而轉化為求直線PA的斜率的最大值，由數形結合可知，當直線PA與圓相切時，斜率最大（另一條切線的斜率不存在），易求得切線的斜率為k=- ，所以umax= - .

反思2：聯想函數與方程，由u= 得y-2=u（x+1），這是一條直線方程，根據題意，此直線與圓有公共點，因此y-2=u（x+1），x2+y2=1有解，消去y得（u2+1）x2+（2u2+4u）x+u2+4u+3=0，由Δ≥0得u≤- ，即umax=- .

反思3：聯想平面幾何知識，直線與圓有公共點，故圓心（0，0）到直線的距離d≤1，從而得出u≤- ，即umax=- .

反思4：聯想圓的參數方程，由于點P（x，y）在圓上，所以可令x=cosθ，y=sinθ，則u= ，即sinθ-ucosθ=u+2，

所以sin（θ-φ）= （其中tanφ=-u）. 利用正弦函數的有界性，得出u≤- ，即umax=- .

三、反思解題中錯誤的根源，培養思維的批判性

解數學題，出現錯誤在所難免，出現錯誤的因素多種多樣，有的因為審題不清，有的因為概念模糊，有的因為解題策略有誤，有的因為運算量大、計算馬虎等，解題出現錯誤并不可怕，關鍵是要重視錯誤，反思錯誤，找出錯誤的地方，是由于什么原因導致的，如何改正，給學生一個對基礎知識重新理解的機會，使學生在糾錯的過程中牢牢掌握基礎知識，在反思中不斷得到提高.

例3 已知圓的方程x2+y2+2x+ky+k2=0和某一定點P（1，1），要使過點P所作圓的切線有兩條，求k的取值范圍.

解：圓的方程可變為：（x+1）2+y+ = ，所以圓心坐標為-1，- ，半徑r= . 因為過P點要作圓的兩條切線，所以P點在圓外，即 > ，得到：k2+k+4>0？圯k+ + >0.

又對k∈R，k+ + >0恒成立，所以，k的取值范圍是R.

反思本例的解題錯誤，是由于對圓的一般方程這一概念不夠清楚，因為方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲線不一定是圓，也可能是一個點或沒有圖形，只有化成標準形式：

x+ +y+ = （D2+E2-4F），且D2+E2-4F>0時，此方程才表示圓，此題正是由于忽視這個條件導致錯誤，因此，必須同時滿足

4-3k2>0， > ，

解得：-

在平時學習中，我們常遇到這樣的情況：“這種題型講過n次，可考試時還是錯了！”究其原因，主要是因為我們為解題而解題，只重視解題的結果和數量，而不重視解題后的反思，更不重視思維能力的培養.通過反思，我們對解題的科學性、正確性、深層性有了更深的認識，既能牢固掌握知識，也能提高自己的解題能力.

一、反思解題的完善性，培養思維的深刻性

有的同學解完題后，沒有進行題后反思的習慣，不靜下心反思解題的方法、過程、變式，更沒有反思解題過程是否完善或者存在某個因素是否考慮，導致答案遺漏或解題錯誤，這種只重結果和數量的低效解題是同學們中一種嚴重的弊端，值得每一位同學重視.相反，如果我們能夠在解題后對解題的過程是否完善進行反思，不但可以減少錯誤，而且更能有效地培養我們思維的深刻性.

例1 設集合A={xx2-3x-10≤0}，B={xm+1≤x≤2m-1}，若A∪B=A，求實數m的取值范圍.

解：因為A={xx2-3x-10≤0}={x-2≤x≤5}，且A∪B=A，所以B？哿A.

又m+1≤2m-1，2m-1≤5，m+1≥-2，

解得：2≤m≤3，

所以，m的取值范圍是[2，3].

由A∪B=A，有B？哿A，在進行運算時，只考慮了B≠ ，而忽略B= 的情況，因此解題的過程并不完善，導致結果錯誤，必須補上B= 的情形，m+1>2m-1，得m<2，得到m的取值范圍是（-∞，3].

二、反思解題方法的多樣性，培養思維的廣闊性

高中數學知識模塊縱橫交錯，解題思路靈活多變，解題方法途徑繁多，但最終卻能殊途同歸.這樣即使一次解題合理正確，也不能保證解題思路就是最佳的.應進一步進行解題反思，探求一題多解和多題一解，開拓思路，勾通知識，掌握規律，權衡解法優劣，創造性地去學習、摸索、總結，使自己的解題能力更勝一籌.一題多解，各種解法可能會用到不同的知識點、不同的解法技巧.同時同一種解法又能解決很多問題，然后比較眾多解法中哪一種最簡潔、最合理？把本題的解法和結論加以推廣，這樣既可看到知識的內在聯系、巧妙轉化和靈活運用，又能得出一般方法和思路.在解題反思中要善于總結，掌握規律，探求共性，再由共性指導我們去解決碰到的這類問題.

例2 設P（x，y）是圓x2+y2=1上的任意一點，求u= 的最大值.

反思1：u= 與斜率公式結構相似，馬上聯想到u= 可看成圓上的點P（x，y）與點A（-1，2）連線的斜率，從而轉化為求直線PA的斜率的最大值，由數形結合可知，當直線PA與圓相切時，斜率最大（另一條切線的斜率不存在），易求得切線的斜率為k=- ，所以umax= - .

反思2：聯想函數與方程，由u= 得y-2=u（x+1），這是一條直線方程，根據題意，此直線與圓有公共點，因此y-2=u（x+1），x2+y2=1有解，消去y得（u2+1）x2+（2u2+4u）x+u2+4u+3=0，由Δ≥0得u≤- ，即umax=- .

反思3：聯想平面幾何知識，直線與圓有公共點，故圓心（0，0）到直線的距離d≤1，從而得出u≤- ，即umax=- .

反思4：聯想圓的參數方程，由于點P（x，y）在圓上，所以可令x=cosθ，y=sinθ，則u= ，即sinθ-ucosθ=u+2，

所以sin（θ-φ）= （其中tanφ=-u）. 利用正弦函數的有界性，得出u≤- ，即umax=- .

三、反思解題中錯誤的根源，培養思維的批判性

解數學題，出現錯誤在所難免，出現錯誤的因素多種多樣，有的因為審題不清，有的因為概念模糊，有的因為解題策略有誤，有的因為運算量大、計算馬虎等，解題出現錯誤并不可怕，關鍵是要重視錯誤，反思錯誤，找出錯誤的地方，是由于什么原因導致的，如何改正，給學生一個對基礎知識重新理解的機會，使學生在糾錯的過程中牢牢掌握基礎知識，在反思中不斷得到提高.

例3 已知圓的方程x2+y2+2x+ky+k2=0和某一定點P（1，1），要使過點P所作圓的切線有兩條，求k的取值范圍.

解：圓的方程可變為：（x+1）2+y+ = ，所以圓心坐標為-1，- ，半徑r= . 因為過P點要作圓的兩條切線，所以P點在圓外，即 > ，得到：k2+k+4>0？圯k+ + >0.

又對k∈R，k+ + >0恒成立，所以，k的取值范圍是R.

反思本例的解題錯誤，是由于對圓的一般方程這一概念不夠清楚，因為方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲線不一定是圓，也可能是一個點或沒有圖形，只有化成標準形式：

x+ +y+ = （D2+E2-4F），且D2+E2-4F>0時，此方程才表示圓，此題正是由于忽視這個條件導致錯誤，因此，必須同時滿足

4-3k2>0， > ，

解得：-