分類思想在初中數學教學中的滲透

郭海平

推行素質教育，培養面向新世紀的合格人才，使學生具有創新意識，在創造中學會學習，教育應更多的的關注學生的學習方法和策略。隨著課程改革的深入，應試教育“向”素質教育“轉變的過程中，對學生的考察，不僅考查基礎知識，基本技能，更為重視考查能力的培養。如基本知識概念、法則、性質、公式、公理、定理的學習和探索過程中所反映出來的數學思想和方法；要求學生會觀察、比較、分析、綜合、抽象和概括；會闡述自己的思想和觀點。從而提高學生的數學素養，對學生進行思想觀念層次上的數學教育。

數學學習離不開思維，數學探索需要通過思維來實現，在初中數學教學中逐步滲透數學思想方法，培養思維能力，形成良好的數學思維習慣，既符合新的課程標準，也是進行數學素質教育的一個切入點。

數學分類思想，就是根據數學對象本質屬性的相同點與不同點，將其分成幾個不同種類的一種數學思想。它既是一種重要的數學思想，又是一種重要的數學邏輯方法。

所謂數學分類討論方法，就是將數學對象分成幾類，分別進行討論來解決問題的一種數學方法。有關分類討論思想的數學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性。

分類討論思想，貫穿于整個中學數學的全部內容中。需要運用分類討論的思想解決的數學問題，就其引起分類的原因，可歸結為：①涉及的數學概念是分類定義的；②運用的數學定理、公式或運算性質、法則是分類給出的；③求解的數學問題的結論有多種情況或多種可能；④數學問題中含有參變量，這些參變量的取值會導致不同結果的。應用分類討論，往往能使復雜的問題簡單化。分類的過程，可培養學生思考的周密性，條理性，而分類討論，又促進學生研究問題，探索規律的能力。

教學中可以從以下幾個方面，讓學生在數學學習過程中，通過類比、觀察、分析、綜合、抽象和概括，形成對分類思想的主動應用。

一、滲透分類思想，養成分類的意識

每個學生在日常中都具有一定的分類知識，如人群的分類、文具的分類等，我們利用學生的這一認識基礎，把生活中的分類遷移到數學中來，在教學中進行數學分類思想的滲透，挖掘教材提供的機會，把握滲透的契機。如數的分類，絕對值的意義，不等式的性質等，都是滲透分類思想的很好機會。

整數、

分數

正有理數

零

負有理數

教授完負數、有理數的概念后，及時引導學生對有理數進行分類，讓學生了解到對不同的標準，有理數有不同的分類方法，如分為：

有理數有理數

為下一步分類討論奠定基礎。

認識數a可表示任意數后，讓學生對數a進行分類，得出正數、零、負數三類。

講解絕對值的意義時，引導學生得到如下分類：

通過對正數、零、負數的絕對值的認識，了解如何用分類討論的方法學習理解數學概念。

又如，兩個有理數的比較大小，可分為：正數和正數、正數和零、正數和負數、負數和零、負數和負數幾類情況來比較，而負數和負數的大小比較是新的知識點，這就突出了學習的重點。

結合“有理數”這一章的教學，反復滲透，強化數學分類思想，使學生逐步形成數學學習中的分類的意識。并能在分類討論的時候注意一些基本原則，如分類的對象是確定的，標準是統一的，如若不然，對象混雜，標準不一，就會出現遺漏、重復等錯誤。如把有理數分為：正數、負數、整數，就是犯分類標準不一的錯誤。在確定對象和標準之后，還要注意分清層次，不越級討論。

二、學習分類方法，增強思維的縝密性

在教學中滲透分類思想時，應讓學生了解，所謂分類就是選取適當的標準，根據對象的屬性，不重復、不遺漏地劃分為若干類，而后對每一子類的問題加以解答。掌握合理的分類方法，就成為解決問題的關鍵所在。

分類的方法常有以下幾種：

1、根據數學的概念進行分類

有些數學概念是分類給出的，解答此類題，一般按概念的分類形式進行分類。

例1，化簡解：

這是按絕對值的意義進行分類。

例2、比較與易得的錯誤，導致錯誤在于沒有注意到數可表示不同類的數。而對數進行分類討論，既可得到正確的解答：

＞0時，=0時，＜0時，

2、根據數學的法則、性質或特殊規定進行分類

學習一元二次方程，根的判別式時，對于變形后的方程

用兩邊開平方求解，需要分類研究大于0，等于0，小于0這三種情況對應方程解的情況。而此題的符號決定能否開平方，是分類的依據。從而得到一元二次方程的根的三種情況。

例3、解關于x的不等式：ax＋3＞2x+a

分析通過移項不等式化為（a－2）x＞a－3的形式，然后根據不等式的性質可分為a－2＞0，a－2＝0，和a－2＜0三種情況分別解不等式。

當a－2＞0，即a＞2時，不等式的解是x＞

當，a－2＝0，即a＝2時，不等式的左邊＝0，不等式的右邊＝－1

因為01－1，所以不等式的解是一切實數。

當a－2＜0，即a＜2時，不等式的解是x＜

3、根據圖形的特征或相互間的關系進行分類

如三角形按角分類，有銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，直線和圓根據直線與圓的交點個數可分為：直線與圓相離、直線與圓相切、直線與圓相交。

例如等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，底邊長為a，則其腰上的高是。（2002年河南中考題）

分析：本題根據圖形的特征，把等腰三角形分為銳角三角形和鈍角三角形兩類作高CD，如圖，可得腰上的高是或從幾何圖形的點和線出現不同的位置進行分類。

在證明圓周角定理時，由于圓心的位置有在角的邊上、角的內部，角的外部三種不同的情況，因此分三種不同情況分別討論證明。先證明圓心在圓周角的一條邊上，這種最容易解決的情況，然后通過作過圓周角頂點的直徑，利用先證明（圓心在圓周角的一條邊上）的這種情況來分別解決圓心在圓周角的內部、圓心在圓周角的外部這兩種情況。這是一種從定理的證明過程中反映出來的分類討論的思想和方法。它是根據幾何圖形點和線出現不同位置的情況逐一解決的方法。教材中在證明弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。也是如此分圓心在弦切角的一條邊上，弦切角的內部、弦切角的外部三種不同情況解決的。

三、引導分類討論，提高合理解題的能力

初中課本中有不少定理、法則、公式、習題，都需要分類討論，在教授這些內容時，應不斷強化學生分類討論的意識，讓學生認識到這些問題，只有通過分類討論后，得到的結論才是完整的、正確的，如不分類討論，就很容易出現錯誤。在解題教學中，通過分類討論還有利于幫助學生概括，總結出規律性的東西，從而加強學生思維的條理性，縝密性。

一般來講，利用分類討論思想和方法解決的問題有兩大類：；其一是涉及代數式或函數或方程中，根據字母不同的取值情況，分別在不同的取值范圍內討論解決問題。其二是根據幾何圖形的點和線出現不同位置的情況，逐一討論解決問題。

例4、已知函救y＝（m-1）x²＋（m-2）x－1（m是實數）。如果函數的圖象和x軸只有一個交點，求m的值。

分析：這里從函數分類的角度討論，分m－1=0和m－110兩種情況來研究解決問題。

解：當m＝l時函數就是一個一次函數y＝－x－1，它與x軸只有一個交點（-1，0）。

當m11時，函數就是一個二次函數y＝（m－1）x²＋（m－2）x－1

當△＝（m－2）2+4（m－1）=0，得m=0.

拋物線y=－x²－2x－1，的頂點（－1，0）在x軸上

例5、函數y=x⁶-x⁵+x⁴-x³+x²-x+1，求證：y的值恒為正數。

分析：將y的表達式分解因式，雖可證得結論但較難。分析可發現，若將變量x在實數范圍內適當分類，則問題容易解決。

證明：⑴當x≤0時

∵x⁵-x³-x≥0，∴y≥1恒成立；

⑵當0＜x＜1時

y=x⁶+（x⁴-x⁵）+（x²-x³）+（x-1）

∵x⁴＞x⁵，x²＞x³，1＞x

∴y＞0成立；

⑶當x=1時，y=1＞0成立；

⑷當x＞1時

y=（x⁶-x⁵）+（x⁴-x³）+（x²-x）+1

∵x⁶＞x⁵，x⁴＞x³，x²＞x

∴y＞1成立

綜上可知，y＞0成立。

例6、已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，△ACD是含30°角的直角三角形。△ABC和△ACD拼成一個凸四邊形ABCD.（1）畫出四邊形ABCD；（2）求四邊形ABCD的面積。

分析含30°角的直角三角形ACD中我們可以把AC作為斜邊、AC作為直角邊二類情況來研究。如圖1是以AC為斜邊和等邊三角形ABC拼成的四邊形ABCD（DDAC=30°和DDAC=60°這兩種圖形算出的四邊形ABCD面積相同的，故歸納為同一類）。AC為直角邊又可分為二種不同情況如圖2和3.從圖1，S四邊形ABCD=；從圖2，可算得S四邊形ABCD=；可算得S四邊形ABCD=3。

由以上的幾個例子，我們可以看出分類討論往往能使一些錯綜復雜的問題變得異常簡單，解題思路非常的清晰，步驟非常的明了。另一方面在討論當中，可以激發學生學習數學的興趣。利用現有教材，教學中著意滲透并力求幫助學生初步掌握分類的思想方法，結合其它數學思想方法的學習，注意幾種思想方法的綜合使用，給學生提供足夠的材料和時間，啟發學生積極思維。相信會使學生在認識層次上得到極大的提高，收到事半功倍的教學成效。