快樂的數學

劉克峰

我感覺到，數學的未來在中國。因為中國人做數學就像中國人打乒乓球一樣有優勢，我們在這方面是有特長的，可以做得很好，發展得很快。數學需要聰明人，我們十三億人口中絕對不缺優秀的人才。數學不需要太多的投入，只要有一個好的圖書館，把一群好的年輕人聚集在一起，讓他們無憂無慮地討論數學，有五年到十年就會大見成效。如果說國內那一門學科可以很快成為世界一流，我相信數學是最有可能的。

我的生活、學習與研究的經歷

我的小學、中學都是在開封和天津的農村和郊區上的，父母也只有小學文化。我初中三年級才開始接觸英文。至今還記得小學一年級坐過的泥土板凳和照亮的煤油燈。但河南農村小學、天津的郊區小學和中學卻培養了我獨立思考問題的好習慣。上初中和高中時，因為沒有人討論，所以自己經常會為一個問題苦思冥想幾個星期。這種習慣是做研究必不可少的。現在我會時常為一個問題思考幾年不覺得累，而且會覺得很享受。

數學競賽有很多弊端，卻激發了我對數學的興趣。中學數學競賽的一次失利對我影響極大，也激勵我更加努力。我自學了高中、大學里的不少數學，開始時似懂非懂，可即使如此，再看中學數學就覺得非常簡單了。所以，我覺得高考應該有一些微積分的知識，因為微積分某種意義上是集初等數學之大成，是現代科學最不可缺少的工具，越早接觸它對自己未來的發展就越有利。

小學時，我們“開門辦學”，夏天去田地里拾麥穗，考試開卷，自己編寫考試題目。由于課程輕松，我大部分時間是與小朋友們四處玩逛。現在想想，這卻與美國的小學教育很有一些相像之處。如今，與我同時代的不少朋友在國內外各行各業都做得很成功，大家并沒有覺得小時候少學了什么。我現在每每看到國內的孩子們被考試、習題折磨成蔫蔫的樣子，心里總覺得不是滋味。

1976年我小學畢業的時候正好遇上唐山大地震，我們曾在露天里，把黑板掛在樹上上課。今年的汶川大地震給了我更多心靈的振顫。這兩次大地震對中國都有劃時代的意義。1976年正是中國改革開放的前夜；2008年將會是中國空前團結和強大的里程碑。

海外的游子們尤其感受到了中國的進步，民族的團結與強大。這跟我20年前到美國去的時候完全不一樣。那是在我讀書的時候，連香港、臺灣的同學說起大陸都有不屑的樣子，美國媒體里中國人的形象也大都很負面。當時我們太窮太困難，現在的情況是天翻地覆，世界上對中國的尊敬從各個方面體現出來，包括美國的媒體、好萊塢、娛樂等各方面對中國的描述也完完全全地改變了。這種改變令我們更加覺得作為中國人的自豪。

我不到16歲上大學。在北京大學讀書的四年里，數學上沒有太多進步，玩得太多，寫了幾百封情書追求我現在的太太。但大學里7個人一個宿舍的經歷卻磨煉了我的個人生活能力。而當時我們班上學習最好的兩個同學，都在1988年前后來美國名校讀書，畢業后由于生活事業上的一些不順利，都自殺了。我想，這是經不起生活坎坷的磨練。其實許多坎坷回頭看來都根本不值得一提，如果能夠咬牙克服過去，事后回想起來也許是自己人生的寶貴經驗和快樂回憶。我經常告訴我的學生們，中國人并不比別人聰明，我們最大的優勢就是韌性，那是我們文化和人性的根基。屢挫屢戰，能夠在大大小小的失敗里站起來才是真正的成功者。

在大學的時候，我們大都不知道什么是現代數學研究，以為就是做習題和考試。這使得許多學生，包括我自己失去了進一步學習的熱情和動力。所以現在我帶學生，都會讓他們盡早接觸現代數學研究的前沿知識，讓他們有新的努力方向；讓他們盡量多學各個方面的數學知識，有自己開闊的眼界。

我真正知道什么是現代數學是在1985年，陳省身先生在南開舉辦的暑期班里，我似懂非懂地學習了一些當代的幾何拓撲知識。印象最深的，就是陳先生講座中提到的陳示性類和指標定理。暑期班以后，我反反復復地讀在暑期班里沒有學懂的陳先生指定的兩本書，由此也開始體會到“學而時習之，不求甚解；每有會意，便欣然忘食”的愉悅感覺。那一期的暑期班培養了好幾位優秀的數學家，如張偉平、周向宇、方復全等，他們都是當今中國幾何拓撲學界的領袖人物。

我在中國科學院研究生院讀書時，同學中有南開的張偉平院士、中科院數學所的周向宇所長等。那時很少有機會能聽到前沿的課程。我們自己組織討論班，報告陳示性類、指標理論、莫代爾猜想等等。開始還無法完全弄明白，但是卻開闊了眼界，至少知道了什么是“好的”、值得學習的數學。這對每個人來說都是非常重要的。我覺得學生們最需要培養的是對數學的鑒賞力，讓他們知道什么是好的、有用的數學才是最重要的訓練。

1988年我來到哈佛大學攻讀博士學位，讓我感觸最深的就是那里的教授和學生們勤奮工作和學習的作風。許多著名的大教授，如鮑特·辛格當時都七十多歲了，滿頭白發，卻每天出現在各種討論班里，像年輕人一樣上課問問題。丘成桐先生也一天到晚坐在研究生的課堂里。現在國內最缺少的正是這樣一種風氣。

我想，一流的大學其實就是這樣，并非一流的大樓和最先進的計算機，而是一流的研究學習氛圍。然而，推動老師學生們如此投入的是他們對數學的好奇、熱愛和對知識的渴求。哈佛舉辦各種討論班，老師學生們都非常積極地參加，座位不夠了，甚至坐在地上，那時的我感覺就好像一頭扎進了知識的海洋，每天早晨都感受到不同的陽光，那是非常令人興奮的日子。

美國頂尖大學里對研究生的培養就像是把人扔到水里學游泳。教授們通常不太管學生，讓學生們互相促進。在那樣的氛圍和知識的海洋里，每個人都會自覺地非常用功，爭取游到成功的彼岸。我在浙江大學數學中心也努力創造這樣的氛圍，經過五年的努力，已經初見成效。

1993年從哈佛畢業后，我先后在麻省理工學院、斯坦福大學與加州大學洛杉磯分校任教，近五年來我把大部分精力投入到浙江大學數學研究中心與數學系的建設中。

我感覺到，數學的未來在中國。因為中國人做數學就像中國人打乒乓球一樣有優勢，我們在這方面是有特長的，可以做得很好，發展得很快。數學需要聰明人，我們十三億人口中絕對不缺優秀的人才。數學不需要太多的投入，只要有一個好的圖書館，把一群好的年輕人聚集在一起，讓他們無憂無慮地討論數學，有五年到十年就會大見成效。如果說國內哪一門學科可以很快成為世界一流，我相信數學是最有可能的。其實中國能成為體育強國就是五十年代從乒乓球抓起，以此來帶動其他體育項目的。我覺得我們的科學發展也應該從數學來率先突破，它們的共同點是投資少，見效快，又很合乎中國人的天性。我們投這么多的錢在足球里面，還不如投到數學里面，如果這樣，中國的數學將很快是世界超一流的。我想，數學家們肯定不會讓老百姓揪心的。

中美教育應該互補

我覺得應試教育是一種訓練機器，把孩子的靈性和能力磨掉了，只有對習題和考試的被動回應。我們一些老的體制和觀念對我們發現和培養人才也是很大的障礙，尤其對有鮮明個性的學生，我們的老師壓制多于鼓勵，只是希望他們聽話，并不鼓勵他們的個性和好奇心。其實。許多優秀的學生，我們只需要把他們引導到正確的學習研究軌道上，他們很快就會非常出色。據我了解，我們的中學老師、家長們都明白問題所在，但卻往往身不由己地跟著惡性循環。家長們既心疼孩子又要強迫他們去隨大流拼命。許多有條件的家長寧可忍受分離之苦把孩子送到國外讀書，以此來逃避國內的各種考試，這樣的犧牲卻未必值得。

我們的孩子們從小就開始參加“奧數”，他們中許多并非為了興趣，而是被逼無奈。奧數競賽本身用意很好，可是物極必反，被許多學校和家長們用作進入好中學，好大學的工具。奧數獲獎者的人數和進入清華北大的人數成為許多學校的金字招牌。太多的功利因素把奧數變成了進入好學校的工具，而不是用來激發學生們的興趣。奧數免試制度顯然弊大于利，作為人學的參考應該會有更好的作用。一些大學每年為所謂高考狀元的競爭更是白熱化。不少老師也知道這樣做不對，可還是要做。其實大學之間應該是比較培養成功的人才數量，而不是比較哪一個招收了更多的所謂狀元。招收很多人才卻培養不出來就是大學教育的失敗。

中國學生們十幾年的中小學生涯就是把進入最好的大學作為人生的目標。父母、學校還有學生們往往忘記了大學只是人生奮斗的開始。而對于我們今天的學生，大學卻變成了人生奮斗的終點。

美國的教育恰好相反。學生們一直到高中玩得很多，尤其美國孩子更多地是在體育、才藝等其他方面發展。學校里的功課相對簡單，數學教育更多的是灌輸知識，而不是技巧。但他們的教育方式有非常好的一面，如從小學開始就給一些研究性質的項目要求學生自己找資料，總結整理并在班上演講。老師也鼓勵學生主動回答問題，多與同學交流。這是非常好的研究和學習訓練。我們是讀研究生的時候才開始這樣訓練的，缺乏這樣的“童子功”，很影響中國學生在國內外的事業發展。不僅要做出好的成果，還要讓別人了解并應用你的成果，這是現在做研究的必經之路。

美國大學的選拔方式也是全方位的，包括獨立思考能力、社會責任感、團隊精神、體育才藝等等的綜合評判，考試成績只是參考指標的一部分，而且入學考試有幾次機會，并非像國內一樣一次考試定終身。這對學生的全面發展非常有利。

美國的中學生們到了高中為進入好大學大都非常用功。據統計北加州三分之二的高中學生缺乏睡眠和營養，各種協助學生申請大學的機構也應運而生。由此可見學習的刻苦，競爭的激烈。我女兒上高中時就經常學習到深夜來準備轉天的考試，在大學里更是緊張，還要開始為自己以后的生活和工作考慮。他們從此上緊了人生的發條。上大學以后他們能夠更加成熟地思考自己的人生，許多人知道要為自己的未來而主動用功。

我們的孩子們該玩的時候設有玩夠，從小就是在為父母們用功，磨滅了天真。所有的理想都是父母和社會強加給他們的，并非他們自己的意愿。一旦進入大學，離開父母，他們就往往不再有用功的動力。過度的機械訓練讓他們對科學完全失去了興趣，而沉迷于小時候沒有玩夠的各種游戲。

我覺得中美教育各有所長，也各有所短，都有合理和不合理的地方。中國的教育注重基礎和技巧，但為了升學進行魔鬼式的考試技巧訓練有害無益。美國一般的中學教育又顯得過于放縱，不少數學老師本身水平就很低。但由于美國有許多各種水平的大學，這保證了各種水平的學生都有進人大學的機會。中學也一樣，大量的與多樣化的中學給了學生們各種升學受教育的機會。美國學校的另一個優勢是他們可以雇到全世界最好的老師，招收到全世界最好的學生。這保證了美國優秀大學的研究和教學水平總是在世界前列。隨著經濟的發展，中國也漸漸地具備了這樣發展大學和研究的實力。我相信更多的大學，包括高水平的私立大學與教學研究的國際化，集世界的英才為中國服務，將是中國教育的發展方向。

我在美國大學里教書發現，在每個大學里，即使哈佛，盡管有許多非常優秀的學生，但也有基礎非常差的學生，這說明美國招生制度也有弊端。如何將中美教育的優勢綜合起來培養我們的學生也是我經常思考的問題。我接觸了不少美國的研究生與大學生，注意到他們的共同點是非常自信，與老師相處非常坦然，講課條理清楚，這應該是他們從小訓練的結果，他們的不足是缺乏韌性，全憑熱情做事，生活和研究中一旦遇到稍大的挫折就會立刻向其它方向發展。當然，美國社會也給了他們各種轉行的條件。

中國的學生基礎扎實，勤奮用功，但一般比較害羞，對老師過于恭敬和崇拜，有時對自己的觀點缺乏自信，這阻礙了他們的創新能力。他們的表達能力也相對有些欠缺。在國外許多中國留學生沒有成功，甚至完全失敗，并非他們天分不行，而往往是性格因素和生活能力造成的。其實他們中許多人在研究中取得了很好的成績，卻不能很好地適應社會。據我個人的經歷，現代社會中一個人的成功與否與“情商”的關系明顯大于“智商”，最聰明的往往不一定是最成功的。好的數學證明常常是經歷了幾十個甚至上百個失敗的嘗試之后才找到，所以一個人經受挫折的韌性往往是成功的關鍵。我的導師丘成桐先生也經常教育我們，要不屈不撓、屢敗屢戰才能成為真正的強者。

由于長期的考試訓練，國內的許多學生很難適應由讀書走向研究的過渡階段，我發現許多優秀的學生在這一步上垮掉了。不少考試的尖子一旦覺得自己的研究不如同學，就會產生極端的嫉妒或者自卑情緒。前幾年在國外的中國學生身上表現極為突出，甚至有自殺和殺人的例子，包括在哈佛和麻省理工學院等名校的學生。

我們的獨生子女過分地依賴父母和老師，他們在適應集體生活與研究等方面的問題似乎更加嚴重。這是我們作為老師和家長都要面對的問題。

“法乎其上，取乎其中”

關于學習的方法和對數學的興趣，我個人的經驗是，數學學習應該遵循“法乎其上，取乎其中”的方式，這是事半功倍的好方法。比如學習微積分的知識用來解決許多中學數學問題就非常有用。我初中二年級時數學曾經很差，但我似懂非懂地自學了一些高中數學，再回頭來看初中數學，就覺得非常容易。同樣我高中時自學了一些大學的數學，中學的數學題就不在話下了。我希望大學生們盡早了解研究生階段的知識，而研究生則要盡快開始研究訓練。技巧訓練也很重要，但不要為技巧而技巧，做題的目的是為了掌握知識。而興趣則往往產生于能夠解決困難問題的成就感。在具體的學習過程中，我教導我的學生要上課前預習，課堂上認真做筆記，課后認真復習

做習題。采用這樣的三部學習法可以有效地提高學習效率。課余時間還要讀些課外書，盡量拓展自己的知識面。對于研究生我要求他們在學習過程中要連奔帶跑地沖到研究前沿，論文和書籍要一起看。只有讀了論文，開始做研究了，才知道什么樣的數學有用，應該下功夫，要盡量少做無用功。

我們的教育體制有許多要改進的地方，除了中學里有太多的考試，在大學里，有些老師的知識就過于陳舊和狹窄，而且不努力學習新的知識，更不可能拓寬學生的知識面了。許多學生也動輒以能做上萬道習題為榮，或者早早就把自己限制在某個狹窄的研究方向上。這樣的教育只能培養給別人打工的工匠，不可能培養出真正的科學家。我覺得對數學專業的學生而言，要首先拓寬眼界，不僅在數學的各個學科之間，更包括物理等相關學科，然后再盡可能地融會貫通，激發出想象力。

五年前，我來到杭州為浙大數學中心與數學系工作。我和我的朋友們覺得最重要的使命之一就是發現與培養人才。我們意識到了上面提到的各種各樣的問題，除了呼吁社會的關注，我們也希望通過我們的努力來改變這種狀況。

這幾年在國內工作，我們盡量用自己的成功經驗來培養學生，避免他們重犯我們曾經犯過的錯誤而能夠取得更大的成功。在浙大我們創建了丘成桐數學英才班，其模式也是“法乎其上”理念的實踐，我們請到國內最優秀的老師給丘成桐班上課，希望學生們以最快的速度走到現代數學的前沿。其實我們并不缺乏優秀的學生，我們缺乏的是優秀的老師和好的教育方式。好的老師往往把復雜的理論講得簡單，并激發學生的興趣，而差的老師卻會把簡單的問題講得復雜，讓學生失去自信心。我現在每星期都能收到一些年輕學生的郵件，向我訴說他們對數學的熱愛，許多都很令我感動，也更加讓我感到自己的責任。作為老師，被學生與家長們寄予厚望，如果不能把優秀的學生培養成材，就是最大的資源浪費!

從研究生開始，我一直有幸遇到最好的老師：早年的鐘家慶、王啟明、陸啟鏗先生；以及后來的陳省身、丘成桐先生。鐘先生與王先生的學問和人生都是踏踏實實、樸實無華，陸啟鏗先生對人對學問都是執著真誠。他們都深深地影響了我。至今還記得，當年與周向宇教授一起，在陸先生家里掛著小黑板上討論的情形。

陳省身先生對人對學問都有與眾不同的看法。他曾經很得意地告訴我他對“仁”字的新理解。他認為就是“兩個人的關系”。我想科學是應該最不講人情的，對就是對，錯就是錯，可是中國卻是一個人情社會。也許他晚年思考的問題，是如何處理好數學發展與人際關系的平衡。我們博士畢業的時候，丘先生與丘師母也諄諄教導我們要處理好做學問和做人的關系。注重友情和親情是中華民族的美德，但如果沒有適當的底線就會產生不好的影響。在國內的學校里，學科的發展也往往受到人際關系，特別是與領導關系的制約。

陳先生教育學生的方式是“放羊”，給他們提供好的學習環境，完全相信學生自己的能力，讓他們自由發展。陳先生對“運氣”的理解也有不少獨到之處。

丘成桐先生無論做數學還是做人都是我的楷模，他是我們華人數學家的驕傲。1987年王啟明先生寫信給丘先生推薦我。1988年一月份丘先生用快件給我寄來哈佛的申請表，這完全改變了我的人生道路。

丘先生對數學的貢獻，對朋友的真誠，對祖國的熱愛，對中國數學的巨大投入都將載入史冊。他培養學生也非常成功，他的學生遍布美國一流大學的數學系。哪怕你是研究生第一年的新生，丘先生也往往要求你盡快讀懂最新的數學文獻井在討論班里演講，這樣一來學生們幾乎是“連滾帶爬”地走到了數學研究的最前沿，在研究中學習，在學習中研究，這是“法乎其上”精神最成功的體現。

(作者單位：浙江大學數學中心)