邏輯關系在線性代數教學中的體現

李世偉

(中國計量學院理學院浙江杭州310018)

摘要本文結合線性代數課程前兩章的具體內容，詳細分析了邏輯關系在線性代數教學中的體現。教學實踐表明：在教學過程中對邏輯關系適當的加以強調，對于增加學生的學習興趣，提高學生的學習成績很有幫助。

關鍵詞邏輯；教學；線性代數

一、引言

在線性數學的教學過程中，常常會遇到學生問到一個問題，就是學習線性代數究竟有什么作用。因為在學生學習這門課的過程中，很難找到在生活中直接與線性代數聯系非常緊密的事物。很多老師的答案往往是：學習線性代數可以提高人的計算能力，鍛煉人的邏輯思維能力，增強人的邏輯推導能力等等。但是學生感到這些遙不可及，再加上數學本身的理論性比較強，所以教師在授課的過程當中，會遇到學生學習興趣不高，上課提不起精神等現象。如何有效的提高學生的學習興趣，把學生的注意力緊緊吸引到老師的講課上面，根據近幾年教學的體會，發現在教學當中把課程的邏輯關系講清楚可以起到很重要的作用。下面以線性代數課程的前兩章內容為例，說明邏輯關系在線性代數教學中的體現。

二、第一章行列式內容的邏輯關系分析

第一章行列式是學生在學習線性代數課程所遇到的第一個新概念，把這個概念講清講透對于學生學習線性代數的興趣和信心尤為重要。本章內容如下：主要內容：第一節：行列式的定義；第二節：行列式的性質；第三節：行列式按行或按列展開法則；第四節：克拉默法則。重點：行列式的計算。難點：行列式定義的理解在講述這部分內容的時候，內容的邏輯關系非常明顯。首先由二、三元一次方程組給出二、三階段行列式的定義，說明有了這種行列式的定義后，表示某些比較特殊的二、三元一次方程組的解將會變得比較簡單，但是處理更多元的方程組就會發現僅僅給出二、三階行列式的定義是不夠的，接著有必要引入更高階行列式的定義，自然引出第二節——n階行列式的定義。通過詳細分析二階，三階行列式展開式的項數、每一項元素的構成、及每一項的符號，可以自然給出n階行列式的定義。利用行列式主要是利用行列式運算的結果，但用行列式的定義計算行列式顯然不現實，因為5階行列式的展開式就會包含120項，所以有必要給出一種有效且易行的算法計算行列式，為此引出第三節——行列式的性質。有了這些性質以后，計算行列式變得非常容易，只需根據行列式的第五個性質，把行列式化成一個上三角或下三角行列式來計算就可以了。但是，我們會發現利用行列式性質計算行列式也有一個比較大的問題，就是把行列式化成上三角或下三角行列式的運算量比較大且容易出錯，算法不夠靈活。下一節內容將給出一種更方便、更靈活的計算行列式的方法，自然引出第四節——行列式按行或按列展開法則。這種方法在計算行列式時具有比較大的靈活性，我們可以從行列式任何一個非零元素開始，把它所在行或列的其它元素全部化成零，然后按這一行或列展開，則行列式馬上會降階一次。依此類推，則行列式的階數愈來愈低，計算起來就會比較簡單。到此，講了行列式的概念，行列式的計算，那到底行列式有什么作用，本章的最后一節給出了一個答案。自然引出第五節——crammer法則。這節內容具體講述行列式在一類方程組的求解時會發揮作用。當然這里要特別強調法則的適用條件。

這樣整個第一章就會沿著一個非常自然的邏輯關系介紹下來。這種邏輯性介紹清楚以后，學生在學習每一節新課之前都會有一種期待：講完二三階行列式以后，他就會想到底更高階行列式怎么定義，講完n階行列式的定義，他就會想到底n階行列式會有什么簡單的方法計算，講完行列式的性質計算行列式以后，他就會想到底有沒有更靈活的方法計算行列式。把這些概念、算法都講完之后，學生就會想到底行列式有什么作用。當然這些懸念需要教師在授課時巧妙的進行設置。按照這種邏輯關系進行教學就會讓學生始終覺得這一章內容是一個有機的整體。復習的時候再歸納一下：第一章行列式主要介紹三個問題：第一：行列式的概念；第二：行列式的運算；第三：行列式的一個應用。這樣學生對行列式的所有內容就比較清楚了。

三、第二章矩陣內容的邏輯關系分析

線性代數除了行列式這個重要的工具以外還有一個非常重要的工具就是矩陣，自然引出第二章矩陣及其初等變換。

第一節主要明確矩陣實際就是一個數表。由于在實際當中數表之間會存在一些運算，所以作為數表的一種抽象，矩陣也需要定義一些運算，自然引出第二節——矩陣的運算。矩陣之間可以定義加法，減法，數乘，矩陣乘積，冪，行列式，轉置運算等等。在這些運算當中有些運算與數的運算類似，有的運算則是矩陣所特有的。這里要特別強調兩點：首先，矩陣的大部分運算都有自己的適用條件：比如加減法要求矩陣同型，矩陣乘積要求前一個矩陣的列數要等于后一個矩陣的行數，矩陣的冪和矩陣的行列式的運算要求矩陣為方陣等；其次矩陣沒有除法運算。除了以上運算以外，矩陣還有一種類似于數的運算，像在數中，則稱為的逆一樣，矩陣里面也有類似的概念，自然引出第三節——矩陣的逆。用數中逆的定義類似的表達式給出矩陣逆的定義，接著利用方陣的行列式判定矩陣什么時候可逆，可逆時再利用伴隨矩陣給出求矩陣逆的方法。這樣從可逆的概念，可逆的判定，逆矩陣的求法三個方面把矩陣逆的問題講清楚了。但是用這一節的方法在實際求逆矩陣時會遇到求伴隨矩陣的困難，下面一節將給出一種更直觀易行的方法求逆矩陣，自然引出下一節——矩陣的初等變換及初等矩陣。本節內容主要是通過方程組的同解變換引出矩陣的初等變換，通過矩陣初等變換之后前后矩陣之間的聯系引入初等矩陣，這兩項主要工作做完以后，自然可以給出利用矩陣的初等行變換求逆矩陣的方法。除了以上矩陣的概念，運算，初等變換以外，后面的章節還要用到矩陣另外一個重要的概念，就是第四節——矩陣的秩。本節主要明確矩陣的秩其實就是最高階非零子式的階數，但確定最高階非零子式不容易，所以后面緊接著給出了用初等行變換求矩陣逆的方法。

這樣按照矩陣的概念，矩陣的運算，矩陣的初等變換，矩陣的逆一條非常清晰的邏輯主線就把第二章內容——矩陣的問題講清楚了。

從以上分析可以看出：線性代數的前兩章內容邏輯關系確實非常明確。我在上課時用這種方法講下來，發現學生學習興趣非常濃厚，課堂氣氛非常熱烈，學習效果也非常好。線性代數的后面幾章內容其實也有非常明確的邏輯主線，將在以后的文章中繼續探討。

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