數(shù)學運算律教學中的“建構(gòu)”和“解構(gòu)”

費嶺峰　胡　娟

“運算律”是小學數(shù)學“數(shù)的運算”中的一個重要內(nèi)容。新課程從第二學段起安排了這塊內(nèi)容[1]。與傳統(tǒng)教材相比，新課程實驗教科書在“運算律”內(nèi)容的編寫上呈現(xiàn)出兩個特點：一是“運算律”引出基于解決問題的背景，突出了“運算律”的發(fā)生發(fā)展過程；二是減少了“運算律”純技能訓(xùn)練的內(nèi)容，突出了應(yīng)用“運算律”靈活解決問題的內(nèi)容[2]。這樣的編寫特點，在突出“運算律”教學的過程性和數(shù)學思考價值的同時，增加了教材理解和把握上的難度，很多一線教師在設(shè)定教學目標和實施教學時，經(jīng)常為到底是在進行規(guī)律探究還是在應(yīng)用規(guī)律解決問題而煩惱。然而筆者認為，教材這樣的編寫特點，有利于突出“運算律”教學的“建構(gòu)”與“解構(gòu)”過程，突出數(shù)學本源性知識的介入與學生認知經(jīng)驗的利用，有利于引導(dǎo)學生在充分理解“運算律”意義的基礎(chǔ)上掌握“運算律”，并能靈活運用“運算律”解決實際問題。在實踐中，欲使教材編寫者的意圖能充分實現(xiàn)，一線教師需要思考以下幾個問題。

一、 “運算律”教學需要學生建構(gòu)什么

所謂建構(gòu)，是指學習者在具體的學習情景中，結(jié)合自己已有的經(jīng)驗，以同化或順應(yīng)的方式理解、掌握乃至應(yīng)用新知的過程。小學數(shù)學“運算律”教學中的建構(gòu)，包含了兩個方面的內(nèi)容。

1.建構(gòu)數(shù)學模型

這是顯性層面上的要求。比如在“乘法分配律”一課的教學中，學生通過學習需要理解“兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘，可以先把它們與這個數(shù)分別相乘，再相加”這一定律的內(nèi)容，還能夠用“（a＋b）×c＝a×c＋b×c”這樣的等式來表示，建構(gòu)相應(yīng)的數(shù)學模型。又如“商不變的規(guī)律”的教學，需要學生知道“在除法里，被除數(shù)和除數(shù)同時擴大或者縮小相同的倍數(shù)（或幾分之幾），商不變”的基本內(nèi)容，甚至還可以引導(dǎo)學生嘗試用數(shù)學符號來表示出相應(yīng)的模型。

2.建構(gòu)數(shù)學思想

這是隱性層面上的要求，也是學生數(shù)學思想發(fā)展的過程。即引導(dǎo)學生用數(shù)學語言解釋，或者用數(shù)學符號表達某個具體情景所描述的現(xiàn)象。這是數(shù)學學習由具體到抽象的過程，也是一個數(shù)學簡化的過程。如有位老師在教學“乘法分配律”一課時，通過組織學生解答“學校要購買課桌椅，每張課桌180元，每把椅子60元。要買300套這樣的課桌椅共需要多少錢？”和“一年級新生要購買校服，上衣每件50元，褲子每條30元。購買280套校服共需要多少元？”等多個具體的問題，并通過（180＋60）×300＝180×300＋60×300和（50＋30）×280＝50×280＋30×280等算式形式與實質(zhì)的探討，抽象出了（a＋b）×c＝a×c＋b×c這一相關(guān)的數(shù)學模型。整個過程從情境到算式，再到抽象提煉成數(shù)學模型，貫穿了數(shù)學思考的要求。這也正是一個建構(gòu)數(shù)學思想方法的過程。

二、 怎樣的教學過程有利于學生對“運算律”進行建構(gòu)

當明確了“運算律”教學中，引導(dǎo)學生建構(gòu)數(shù)學模型和數(shù)學思想是重要的教學目標之后，教學過程的有效落實顯得尤為重要。實踐中我們需要做好兩個方面的工作。

1.提供有利于調(diào)動學生認知經(jīng)驗的學習材料

建構(gòu)是以學生已有經(jīng)驗為基礎(chǔ)的，包括兩個方面：一是生活經(jīng)驗，二是知識經(jīng)驗。建構(gòu)主義教學觀認為，“主體以已有的經(jīng)驗為基礎(chǔ)，通過與外部世界的相互作用而主動建構(gòu)新的理解、新的心理表征”，而“建構(gòu)新信息的過程即是對舊信息的重新建構(gòu)過程”[3]。從中我們可以看出，讓學生對“運算律”進行建構(gòu)的重要條件之一，是學生相關(guān)的經(jīng)驗被激起，并能引導(dǎo)其利用已有的認知經(jīng)驗建構(gòu)起新知。因此，在“運算律”教學中要使學生進行有效建構(gòu)，需要選擇一些充分調(diào)動學生認知經(jīng)驗的學習材料，并配以學生充分應(yīng)用認知經(jīng)驗解決問題的學習過程。

如在教學“連減的簡便計算”這節(jié)內(nèi)容時，可以設(shè)計這樣一個問題：一本書一共234頁，昨天看了66頁，今天又看了34頁，問還剩多少頁沒有看？利用學生的生活經(jīng)驗（書看一天會減少頁數(shù)，再看又會減少，只要每天都看，剩余的頁數(shù)會越來越少）和數(shù)學經(jīng)驗（減法運算，即總頁數(shù)減去看了的頁數(shù)，等于剩下的頁數(shù)）來理解：“總頁數(shù)連續(xù)減去兩天看的頁數(shù)”與“總頁數(shù)減去兩天一共看的頁數(shù)”這兩種不同方法背后的實質(zhì)是相同的，即：一個數(shù)不管是一個一個連續(xù)減去幾個數(shù)，還是一次性減去這幾個數(shù)的和，均是從這個數(shù)中去掉同樣多的數(shù)量，所以結(jié)果應(yīng)該是不變的。

2.設(shè)計激勵學生進行數(shù)學思考的學習過程

學生的主動思考是有效建構(gòu)的基本條件。在“運算律”教學中，教師可以通過以下幾個層次來引導(dǎo)學生進行數(shù)學思考。

（1）誘發(fā)學生暴露思維起點。這是學生經(jīng)驗暴露的過程。期間既有合理的成份，也可能有不合理的成份。但這是建構(gòu)新知所需要的基本條件。如在“商不變的規(guī)律”教學中，當教師呈現(xiàn)了10÷2＝5后，要求學生寫出商同樣等于5的算式時，學生以原有的經(jīng)驗寫出了很多算式：20÷4＝5，15÷3＝5，50÷10＝5，40÷8＝5……

接著請學生說一說是怎樣想的。有的說，是根據(jù)乘法口訣來寫的；有的說，是被除數(shù)加上一個數(shù)，除數(shù)也加上一個數(shù)；還有的說，被除數(shù)乘以一個數(shù)，除數(shù)也乘以一個數(shù)等等。可以看出，學生憑經(jīng)驗寫出算式時，思維過程是不同的。此時，教師才有可能結(jié)合學生不同的思維過程，引導(dǎo)其去探討、辨析，通過調(diào)整思維過程，完善認識，最后歸納得出規(guī)律。

（2）組織學生辨析比較。辨析比較是以學生原有經(jīng)驗為基礎(chǔ)的，是學生固有思維的調(diào)整過程。在引導(dǎo)學生建構(gòu)正確的“運算律”意義中，辨析比較是激發(fā)學生產(chǎn)生認知沖突的重要手段。

①通過辨析比較，發(fā)現(xiàn)不同現(xiàn)象中的共性。從情境到數(shù)學本質(zhì)的提煉，這是數(shù)學思考的基本任務(wù)，也是教師組織規(guī)律教學常用的思路。如前面談到的那位教師在教學“乘法分配律”這節(jié)內(nèi)容中，提供了兩個不同的生活情境。從情境內(nèi)容來看，這是兩件并不相同的事情，然而在解決問題過程中，本質(zhì)卻是相同的：都能用兩種方法解決問題，且對應(yīng)的方法在形式結(jié)構(gòu)上相同。教師正是在引導(dǎo)學生對這些相同元素的關(guān)注中，抽象提煉出相關(guān)數(shù)學模型的。而這樣一個過程，也正是學生數(shù)學思維從具體形象到本質(zhì)抽象的過程。

②通過辨析比較，思考研究材料是否典型。學習材料是學生進行數(shù)學學習的重要載體。引導(dǎo)學生對學習材料的典型與否進行思考，也是提高學生思辨能力，完善對運算律認識的重要策略。在實踐中，很多時候，學生正是由于有了對學習材料典型性的質(zhì)疑，特別是對一些特殊對象的思考，才有對數(shù)學規(guī)律完整認識的過程。如：“商不變規(guī)律”中，當小結(jié)得出“被除數(shù)和除數(shù)同時乘以（或除以）一個數(shù)，商不變”后，對“乘以（或除以）0”的特殊性的考慮，才真正完成了“商不變的規(guī)律”的認識過程。

③通過辨析比較，反思思維過程是否完善，是否存在反例。運算律認識中思維過程的完整與否，也是學生形成清晰數(shù)學認識的重要組成部分。如在“連除性質(zhì)”的教學中，當學生對a÷b÷c=a÷（b×c）理解后，又在適當?shù)臅r候增加了對a÷b÷c=a÷c÷b這種形式的交流與探討。正因為有了對基本形式變式的思考，才使學生的思維過程比較完整，對“連除性質(zhì)”的認識也更為圓滿。

另外，小學數(shù)學的“運算律”教學，一般是引導(dǎo)學生應(yīng)用不完全歸納法探究得出規(guī)律的。因此對有沒有反例的關(guān)注很有必要。如“乘法分配律”一課教學中，學生初步得出規(guī)律后，學生又寫出了如（8＋3）×4＝8×4＋3×4、（5＋1）×3＝5×3＋1×3、（1＋9）×5＝1×5＋9×5等這樣的算式進行驗證，發(fā)現(xiàn)都是成立的。可還有一位學生提出自己的想法：“老師，雖然舉了許多例子，可萬一還是碰巧，那怎么辦？”很多學生也贊同：“是呀，萬一還是碰巧呢？”而正是對這“萬一”的思考，有學生提出了自己的想法：“這樣的算式都應(yīng)該是成立的。以（8＋3）×4＝8×4＋3×4為例吧，左邊算式括號里算得11，表示有11個4，右邊算式的8×4表示有8個4、3×4表示有3個4，加起來也是在算11個4。等號兩邊的算式不同，但它們的意思是相同的，都表示11個4，所以是相等的。其它的式子，道理是一樣的。”正是這對反例的探討，適時生成了學生理解運算律的本質(zhì)意義的機會。

（3）引導(dǎo)學生歸納提煉。因為是規(guī)律，一般具有一定的結(jié)構(gòu)性特點，是能夠進行數(shù)學抽象和模型提煉的。因此，運算律教學一般需要有歸納提煉的環(huán)節(jié)。歸納提煉的方式可以是不同的，有時只需引導(dǎo)學生用簡潔的數(shù)學語言來表述相應(yīng)的“運算律”就可以了，而有時又需要學生能用相應(yīng)的數(shù)學符號來表達相關(guān)的“運算律”。當學生對所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進行歸納提煉時，學生會有思維的介入。這正是培養(yǎng)其抽象思維能力的極佳時機，也是學生建構(gòu)相應(yīng)的“運算律”所必不可少的過程。

所謂解構(gòu)，是相對于建構(gòu)來說的，是指學習者將已經(jīng)形成的觀點或者模型，通過相應(yīng)的實踐進行驗證，最終保留合理的部分。這是學習者知識內(nèi)化不可缺少的重要環(huán)節(jié)。“運算律”的解構(gòu)過程是一個“運算律”意義的深入理解、認識提升的過程，也是一個進一步提升學生數(shù)學思維水平的重要過程。在學生的數(shù)學學習中具有重要的地位。如乘法對加法的分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c的基本模型建立之后，如果僅僅停留于基本模型，那對這一運算定律的認識還只是淺層次的，或者說是機械的。也只有當學生對乘法對減法的分配，甚至一些更為復(fù)雜的變式可以理解和應(yīng)用時，才能認為是真正掌握了“乘法分配律”這一運算定律了。

三、 如何有效落實“運算律”的解構(gòu)過程

1.在組織基本訓(xùn)練的同時，倡導(dǎo)算法多樣化

如在“連除性質(zhì)”這節(jié)內(nèi)容教學中，在學生掌握規(guī)律后進行的練習中，執(zhí)教教師設(shè)計了兩個不同層次的練習：

層次一：用簡便方法計算，習題有400÷25÷4、180÷12÷5。這兩題屬于基本訓(xùn)練，有利于學生鞏固對性質(zhì)的理解。

層次二：怎樣簡便就怎樣算，習題有390÷13÷3、1500÷4÷15、350÷14。這三題則是可以靈活計算的。特別是第3題，是一般的除法算式。通過練習培養(yǎng)學生靈活應(yīng)用性質(zhì)解決實際問題的能力，而當學生能夠靈活應(yīng)用規(guī)律進行簡算時，其對規(guī)律的認識已不僅僅只是一些字母或數(shù)字的認識，而是上升到數(shù)感和數(shù)學意識的層面了。

2.在解決具體問題中，引導(dǎo)學生根據(jù)數(shù)據(jù)特征選擇合理的算法

重視用所學知識解決具體問題是新課程理念下的數(shù)學課堂教學有別于傳統(tǒng)數(shù)學教學的特征之一。“運算律”教學也離不開這一要求。如在“加法交換律結(jié)合律”這一規(guī)律教學后，可以組織學生解決這樣的問題：計算5＋137＋45＋63＋50。計算時，可以有3個數(shù)相加湊成百，讓學生感覺方法是靈活多變的。還可以組織學生解決這樣的問題：某次數(shù)學單元測試第一小組6位同學的成績分別為98、92、96、100、88、94，第二小組6位同學的成績分別為93、97、92、99、97、91。請問哪個小組的總分最高？這一問題不僅關(guān)注了交換、結(jié)合相關(guān)數(shù)據(jù)來計算，同時也有了算法上的不同，即學生不一定采用湊十湊百來算，可能選一個比較接近平均數(shù)的數(shù)，然后跟這個數(shù)比較得出的數(shù)相加減得出總和，再除以6后加上90，得出平均成績。有學生也可能把這些數(shù)跟滿分100比，把少的總和平均一下，然后用100去減得出平均成績。這樣的計算過程已經(jīng)不單純是對運算定律的簡單模仿，而是對“運算律”理解、運用和內(nèi)化的過程，是學生思維提升的表現(xiàn)。這樣的“解構(gòu)”過程也是運算律學習所需要的。

總之，學生學習運算律的過程是一個需要其主動“建構(gòu)”，并通過靈活應(yīng)用，適時完成“解構(gòu)”的過程。學生的學習唯有經(jīng)歷必要“建構(gòu)”與“解構(gòu)”過程，他們的學習才會是有利于其內(nèi)化的、有效的。

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部制訂.全日制義務(wù)教育數(shù)學課程標準（實驗稿）[M].北京：北京師范大學出版社，2001.21.

[2] 費嶺峰.今天，我們該如何教“簡便計算”？[J].小學數(shù)學教師，2008（1，2）：75.

[3] 張華著.課程與教學論[M].上海：上海教育出版社，2000.466.

責任編輯：陳國慶