變換問題 靈活解題

摘要數學問題的解決，實質上是一個不斷變換問題的過程，也即實現從未知向已知的轉化，從待解決的問題向已解決的問題轉化，從復雜問題向簡單問題的轉化過程。在實際解題時，應多注意反思——“思則變”、“變則通”。

關鍵詞變換變形轉化

中圖分類號:G633.6文獻標識碼:A

G·波利亞認為，數學解題就是命題的連續變換，而命題的連續變換，就是數學基本思想方法反復運用的過程。數學問題都有它有自身的規律，解數學題就應該掌握好解題的規律性，并通過解題學會更多的知識和方法，從而加強數學思想方法對探求思路的駕馭能力，以提高自身的數學素養。前蘇聯數學家雅諾夫斯卡婭在回答“解題意味著什么?”時也說“解題——就是意味著把所要解的問題轉化為已經解過的問題。”在教學中注意對學生進行轉化與化歸思想的培養，不斷的變換問題，可提高學生的思維水平，能夠更深刻地理解數學，靈活地運用數學，從而培養他們的創新能力。下文對數學解題中常涉及的一些變換作一些探討。

1 恒等變換

通過施行恒等變換，化高為低，化新為舊，化復雜為簡單，化陌生為熟悉，是解題的常用手段。

2 求同變換

“分析差異，實施變形，消除差異”，在證明、化簡、求值等方面都具有普遍的指導意義。其著眼點就是“統一”。當我們用這種方法去處理問題時，會使問題的條件與結論變得更加勻稱、恰當，從而使問題得到解決。

例2.證明=sin2€%a

思考一:從角入手，都變為單角

左邊= = … =sin2€%a=右邊

思考二:從函數入手，統化為弦

左邊= = … =右邊

思考三:從函數入手，統化切

令tan= t 則右邊=sin€%acos€%a=·· = … =左邊

思考四:從運算入手，左邊為商，右邊為積，依由繁到簡應化左為右。

將條件與結論統一是關鍵，在處理三角函數問題時，化異名為同名，統化弦、統化切，力求統一時轉化思維的一種重要方法。教學中要引導學生選好切入點實行轉化，進一步提高他們的思維水平。

3 對稱變換

對稱變換是一種在保持一定不變性下的變換，有限次地重復施行這一變換，可使對象回復到自身，一個集合在一定的對稱變換下的不變性叫做對稱性。幾何中的軸對稱和中心對稱是最直觀的對稱，還有平面圖形繞其內一定點旋轉一定的角度的變換，也是常見的對稱變換。代數中的對稱也有實數與其相反數的對稱，復數與共軛復數的對稱，還有象對稱多項式，輪換對稱多項式等。函數的周期性也可以看成對稱性，因為周期函數的圖象是無限延伸的曲線，在一定的平移下可重合于自身，從而表現出整體的不變性。函數或代數式的對稱性基于對稱原理:如果一個函數(代數式)中的若干個變量具有對稱性，則這個函數(代數式)的極值往往在這些變量相等時取得，至于它是最大值還是最小值，或由問題本身決定，或靠理論作出判斷。

例3.在銳角三角形ABC的三邊BC、CA、AB上各取一點D、E、F，使DE+EF+FD有最小值。

分析:在⊿ABC中，關鍵在于確定BC上D的位置，假設D點已作出，作D關于AB、AC的對稱點D1、D2，連D1D2，交AB、AC于F、E兩點，則⊿DEF的周長是以D為頂點的三角形之中周長最小的。

DE+EF+FD= D1D2，連AD1、AD2、AD。

由 AD1=AD，∠D1AB=∠DAB

AD2=AD，∠D2AB=∠DAB

∠D1AD2=2∠BAC

在⊿D1A D2中，D1D22 = AD12 +AD22 -2AD12 AD2cos∠D1AD2

=4 AD2 sin 2∠BAC

∴ D1D2 =2ADsin∠BAC，∠BAC為定值，要使D1D2最小，只要使AD有最小值，因此點D應是點A在BC上的射影。

解:作AD⊥BC于D，作D關于AB、AC的對稱點 D1、 D2，連D1D2，交AB、AC于F、E兩點，則D、E、F 三點即為所求。

4 切入變換

同一問題，因思考問題切入的角度不同，解法也不同。

例4. 如圖1所示，客輪以速度2v由A至B再到C勻速航行，貨輪從AC的中點D出發，以速度v沿直線勻速航行，將貨物送達客輪。已知，AB⊥BC且AB=BC=50海里。若兩輪船同時起航出發，則兩船相遇之處距C點____海里(結果精確到小數點后1位)。(2000年上海)

思考一:首先，容易判斷兩船相遇的地點不會在線段AB上。

設兩船經過時間t，相遇在BC上的一點E處。

由題意得|DE|=vt ，|CE|=100-2vt ，|CD|=25，∠DCE45€啊?

在三角形△DCE中，利用余弦定理可求得vt的值，進而求出CE的長度約為40.8海里。

思考二:建立一個直角坐標系利用距離公式來解題，情況又會怎樣呢?

如圖2，以點B為坐標原點，AB、BC所在的直線為坐標軸建立直角坐標系， 則點D(-25，25).

設，E(0，y)根據題意有

=.

解上述方程可求得y≈9.17，而CE=50-Y=40.8

思考三:將直角三角形補成一個正方形(如圖3)

延長ED交正方形的邊于F， 如果貨輪以2v的速度從點F航行至點E，與貨輪從點D出發以速度v航行至點E所需的時間相等。由此可得|EF|=|AB|+|BE|.于是有以下解法:

設|CE|=x，則由對稱性知|FA|=x，

于是由勾股定理得:

|EF|2=502+(50-2x)2 ，

|AB|+|BE|=100-x，

所以502+(50-2x)2=(100-x)2，

解得x≈40.8

所以，兩船相遇之處距C點約40.8海里.