將靜電場(chǎng)的“高斯定理”推廣至萬(wàn)有引力場(chǎng)

摘要： “高斯定理”是電磁學(xué)中一個(gè)重要定理，在理論構(gòu)建和實(shí)際應(yīng)用上都有著重要意義。本文牢牢抓住靜電學(xué)高斯定理成立的核心條件——靜電力滿足平方反比律和疊加原理，通過(guò)類(lèi)比分析，發(fā)現(xiàn)萬(wàn)有引力具有相同的特點(diǎn)，可以引入“源—場(chǎng)強(qiáng)度—通量”這一套研究體系進(jìn)行處理，進(jìn)而建立起萬(wàn)有引力場(chǎng)的“高斯定理”，并討論了這一理論在實(shí)際應(yīng)用中的優(yōu)越性。

關(guān)鍵詞： 高斯定理 萬(wàn)有引力場(chǎng) 建立 應(yīng)用

1.引言

高斯定理是物理學(xué)中一個(gè)非常重要的內(nèi)容。一直以來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)術(shù)界對(duì)高斯定理的研究偏重于應(yīng)用方面，且較為零散，主要集中于電磁學(xué)領(lǐng)域［１］［２］［３］，如求解電力線方程、求電場(chǎng)強(qiáng)度、結(jié)合一些對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行計(jì)算簡(jiǎn)化等，但是對(duì)高斯定理從理論上進(jìn)行全面系統(tǒng)的分析并進(jìn)行推廣的卻相對(duì)較少。實(shí)際上，在傳統(tǒng)研究的基礎(chǔ)上，把高斯定理推廣到物理學(xué)中的其他領(lǐng)域（比如力學(xué)）及其他數(shù)學(xué)表述形式（二維平面形式、復(fù)變函數(shù)形式）都將具有深刻意義［２］［３］，可以加深對(duì)高斯定理的含義的理解和運(yùn)用的掌握，展示出高斯定理在大學(xué)物理中應(yīng)用研究的廣泛性。本文對(duì)“高斯定理”這一理論研究形式在萬(wàn)有引力場(chǎng)推廣的可能性進(jìn)行討論，期望能夠幫助大家更本質(zhì)地把握高斯定理。

2.萬(wàn)有引力與靜電力的對(duì)比

2.1平方反比律

以萬(wàn)有引力為例，眾所周知，作為力學(xué)領(lǐng)域和電磁學(xué)領(lǐng)域奠基性的定律，萬(wàn)有引力定律與庫(kù)侖定律均滿足平方反比律［４］［５］：

F =G ；F = #8226; （1）

（G、ε 分別為引力場(chǎng)量、真空中的介電常數(shù)）

在電磁場(chǎng)中，高斯定理建立的理論基礎(chǔ)是庫(kù)侖定律，其核心是庫(kù)侖力的平方反比律，這一點(diǎn)在電磁學(xué)中的證明已經(jīng)體現(xiàn)得淋漓盡致。于是，我們便自然地想到：同樣滿足平方反比律的萬(wàn)有引力場(chǎng)中，理應(yīng)可以建立類(lèi)似的“引力場(chǎng)高斯定理”，從而將引力場(chǎng)理論豐富完善，甚至可幫助我們?cè)谙嚓P(guān)領(lǐng)域內(nèi)簡(jiǎn)化計(jì)算。

2.2疊加原理

當(dāng)然，我們不能忽略證明電磁學(xué)高斯定理的另一重要實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)——庫(kù)侖力可疊加性［５］。這是由實(shí)驗(yàn)嚴(yán)格證實(shí)的，獨(dú)立于庫(kù)侖定律的一個(gè)重要事實(shí)。其公式表述為：

點(diǎn)電荷離散分布情況：F= F （2）

電荷連續(xù)分布情況：F=#8226;

=#8226; （3）

而在萬(wàn)有引力場(chǎng)中，質(zhì)點(diǎn)m受到多個(gè)質(zhì)點(diǎn)m （d=1，2，3…n）的引力作用時(shí)，m受到的總的引力是各質(zhì)點(diǎn)單獨(dú)存在時(shí)m受到引力的矢量和［４］［６］：

F= F （即同樣滿足疊加原理）（4）

若求m與連續(xù)體M之間的萬(wàn)有引力，利用疊加原理，將連續(xù)體看作多“質(zhì)點(diǎn)”組成，所以F可用積分的方法求得：

F== ρ（ρ為連續(xù)體體密度）（5）

因此，我們發(fā)現(xiàn)，萬(wàn)有引力與庫(kù)侖力一樣，均滿足平方反比律和疊加原理，因此，可以考慮引入電磁學(xué)對(duì)“電場(chǎng)”的研究方法去討論“萬(wàn)有引力場(chǎng)”，著重從“場(chǎng)通量”角度切入，從而建立起反映“場(chǎng)通量”與“源（物質(zhì)）”之間關(guān)系的“高斯定理”。

3.萬(wàn)有引力場(chǎng)的“引力場(chǎng)強(qiáng)度矢量”的引入

電場(chǎng)強(qiáng)度作為電磁學(xué)中極其重要的一個(gè)物理量，從“力”的角度描述了“場(chǎng)”點(diǎn)的電學(xué)特性，其定義是單位點(diǎn)電荷在電場(chǎng)中所受的電場(chǎng)力，用公式形式表示即為[5]：

= （其中q 為場(chǎng)點(diǎn)處的試探電荷）（6）

=（7）

根據(jù)前面分析，我們同樣可在萬(wàn)有引力場(chǎng)中定義一矢量“萬(wàn)有引力場(chǎng)強(qiáng)”，其方向與質(zhì)點(diǎn)在該場(chǎng)中的受力方向一致，大小等于單位質(zhì)點(diǎn)在場(chǎng)中所受到的萬(wàn)有引力的大小，用公式表示為：

= =-（8）

（其中，r為該點(diǎn)與萬(wàn)有引力場(chǎng)源的距離，M為萬(wàn)有引力的場(chǎng)源，“-”表示方向?yàn)槲?/p>

這樣，引入“萬(wàn)有引力場(chǎng)強(qiáng)”這一矢量后，我們對(duì)萬(wàn)有引力的討論不再局限于超距作用理論的點(diǎn)對(duì)點(diǎn)作用，對(duì)場(chǎng)自身的討論成為更重要的內(nèi)容。同樣，我們也可用法拉第提出的“場(chǎng)線”形式去描述引力場(chǎng)的特點(diǎn)，此時(shí)，矢量將派上大用場(chǎng)。

4.萬(wàn)有引力場(chǎng)的“高斯定理”的建立

首先，回顧一下靜電場(chǎng)高斯定理的內(nèi)容：電場(chǎng)中任一閉合閉面的電通量等于該曲面內(nèi)電荷的代數(shù)和除以ε：

Φ= #8226;d = （9）

在電磁學(xué)中已經(jīng)討論得非常清楚——靜電場(chǎng)的高斯定理是靜電力滿足庫(kù)侖平方反比定律和疊加原理的必然結(jié)論。因此，萬(wàn)有引力場(chǎng)也必定存在與上式形似的“高斯定理”，無(wú)須證明即可得出：萬(wàn)有引力場(chǎng)中對(duì)任一閉合曲面的引力場(chǎng)強(qiáng)的通量等于該曲面內(nèi)所包含的總質(zhì)量M除以- ，用公式表示得：

Φ萬(wàn)=#8226;d = =-4πG M （10）

至此，我們通過(guò)深入分析萬(wàn)有引力與靜電力之間的相似點(diǎn)，成功地建立了萬(wàn)有引力場(chǎng)的“高斯定理”，將空間中任意一區(qū)間的萬(wàn)有引力場(chǎng)強(qiáng)通量與該區(qū)域內(nèi)的源物質(zhì)聯(lián)系起來(lái)，開(kāi)拓了我們研究的視野，方便了計(jì)算和分析，同時(shí)也讓我們更深刻地認(rèn)識(shí)到“源—場(chǎng)強(qiáng)度—通量”這一套研究體系要比傳統(tǒng)的“點(diǎn)對(duì)點(diǎn)”的超距作用觀點(diǎn)更進(jìn)步、更合理、具有更廣泛的實(shí)用性。因此，我們得出一個(gè)結(jié)論：在處理物理學(xué)領(lǐng)域的其他不同類(lèi)型“力”時(shí)，只要其同時(shí)滿足平方反比律和疊加原理，就可以運(yùn)用“源—場(chǎng)強(qiáng)度—通量”這一套研究體系進(jìn)行處理，并能從更高的角度分析問(wèn)題、解決問(wèn)題。“高斯定理”便是其中的必然理論之一。

5.應(yīng)用

萬(wàn)有引力定律的高斯定理不但可以幫助我們對(duì)理論的構(gòu)建更清晰，還能幫助我們解決一些實(shí)際的難題，現(xiàn)給出一個(gè)例子進(jìn)行說(shuō)明。

例：如圖1所示，科學(xué)家們?cè)噲D在火星上挖出一直隧道縱貫兩半球（假設(shè)火星為一標(biāo)準(zhǔn)球體，且隧道無(wú)限光滑），隧道離火星中心垂直距離為l，火星半徑為R，密度已知為ρ。現(xiàn)將一質(zhì)量為m的小球放入隧道一端，試討論小球在火星內(nèi)部的運(yùn)動(dòng)情況。

分析：此問(wèn)題的困難之處在于當(dāng)小球位于火星內(nèi)部時(shí)，它所受到的萬(wàn)有引力來(lái)自四面八方均勻但不對(duì)稱(chēng)分布的火星物質(zhì)，此時(shí)其受力情況復(fù)雜，難以直接運(yùn)用牛頓定律求解。但是，注意到火星可看做標(biāo)準(zhǔn)球體，且密度恒定，因?yàn)槠浼ぐl(fā)的萬(wàn)有引力場(chǎng)是具有高度的球?qū)ΨQ(chēng)性，所以我們可以運(yùn)用高斯定理進(jìn)行處理，使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化。

解：如圖1所示：沿隧道方向建立坐標(biāo)系（取隧道為X軸），通過(guò)火星中心向X軸作垂線并相交于一點(diǎn)o′，令此點(diǎn)為X軸坐標(biāo)原點(diǎn)。當(dāng)小球位于P點(diǎn)時(shí)，其到火星中心o點(diǎn)距離為r，到坐標(biāo)原點(diǎn)o′距離為x。小球在該點(diǎn)處的受力情況便可用其質(zhì)量與該點(diǎn)引力場(chǎng)強(qiáng)（僅決定于火星，因小球相對(duì)于火星太小，為試探物體，對(duì)該點(diǎn)場(chǎng)影響可忽略）乘積表示出來(lái)。故第一步是求P點(diǎn)處的引力場(chǎng)強(qiáng)。根據(jù)對(duì)稱(chēng)性分析，可以o為中心，r為半徑過(guò)P點(diǎn)作一高斯面S，則對(duì)球面S的通量可由高斯定理表示出來(lái)：

Φ萬(wàn)=#8226;d =-#8226;4πr =-4πG#8226; M

=4πG#8226; πr ρ（11）

E = πρGr（12）

利用公式（8），小球受力：

F=mE = πρGrm（13）

又由于受到隧道束縛且隧道無(wú)限光滑，物體在水平方向上（沿X軸方向）受力僅為F在x軸上的分力：

F =F#8226; = πρGmx（14）

現(xiàn)在，問(wèn)題的困難部分已解決，剩下的便是運(yùn)用牛頓定律求解了。根據(jù)牛頓第二定律：

F =m =- πρGmx（15）

=- πρGx（16）

這是大家非常熟悉的簡(jiǎn)諧振動(dòng)微分方程，解之，得：

諧振頻率：ω= （17）

振動(dòng)周期：T= = （18）

于是，我們可知小球在隧道中作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，穿越時(shí)間為 =，與m、l等因素?zé)o關(guān)。

6.小結(jié)

本文通過(guò)對(duì)靜電力與萬(wàn)有引力的類(lèi)比分析，通過(guò)引入“引力場(chǎng)強(qiáng)度矢量”，建立起萬(wàn)有引力場(chǎng)的“高斯定理”，指出“高斯定理”這一理論形式的實(shí)質(zhì)是將空間場(chǎng)通量與該空間區(qū)域包含的源物質(zhì)進(jìn)行的關(guān)聯(lián)。由此可見(jiàn)，與靜電場(chǎng)中的高斯定理作用相似，萬(wàn)有引力高斯定理同樣因?yàn)槔昧藞?chǎng)源對(duì)稱(chēng)性，化微分為積分形式，從而大大簡(jiǎn)化了計(jì)算，方便了問(wèn)題的處理。

參考文獻(xiàn)：

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注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”