宋元數(shù)學(xué)的主要成就及其影響

摘要： 本文通過簡介宋元數(shù)學(xué)的主要成就——曾乘開方法、高次方程求解法、大衍求一術(shù)、天元術(shù)、四元術(shù)等，說明宋元數(shù)學(xué)在整個數(shù)學(xué)史中占有重要地位。

關(guān)鍵詞： 宋元數(shù)學(xué) 主要成就 影響

1.宋元數(shù)學(xué)概述

宋元數(shù)學(xué)，從時間上說它包括由北宋到元末大約四百年的時間。在此期間，涌現(xiàn)了許多優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家，其中最卓越的代表，如通常所說的“宋元四大家”的楊輝、秦九韶、李冶、朱世杰等，在數(shù)學(xué)史占有重要的地位。同時期的歐洲正處在中世紀(jì)，中國數(shù)學(xué)家的光輝燦爛成就，在部分問題的解決上，遠(yuǎn)遠(yuǎn)走在世界前列。

宋元數(shù)學(xué)是在漢唐數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，不僅賈憲、楊輝、秦九韶的數(shù)學(xué)著作都稱為“九章”，前二者甚至就是《九章》的問題編集，而且更多的數(shù)學(xué)問題都來源于《九章》，如李冶、郭守敬等人的成果。由于雕版印刷術(shù)的發(fā)達(dá)，北宋王朝在元豐七年由官方的“秘書省”刊到了《九章算術(shù)》等漢唐以來的十部算經(jīng)，作為學(xué)校的課本［１］。《算經(jīng)十書》作為教科書被印刷出來，對宋元數(shù)學(xué)教育以至數(shù)學(xué)研究方面所產(chǎn)生的影響是不言而喻的。

宋元數(shù)學(xué)之所以成為中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展的高峰，與其當(dāng)時出現(xiàn)的杰出數(shù)學(xué)家及其對中國當(dāng)時數(shù)學(xué)有巨大貢獻(xiàn)的著作有密不可分的關(guān)系。以下我們就著重介紹宋元期間有重大影響的數(shù)學(xué)家及其著作。

賈憲，北宋數(shù)學(xué)家，宋元數(shù)學(xué)發(fā)展的“啟動者”。他的許多數(shù)學(xué)成果在宋元時期得到較大發(fā)展，成為某些重要的數(shù)學(xué)專題。其中最著名的是解高次方程的“增乘開方法”。由此，我們可以看到與沿用古代開平方、開立方法發(fā)展起來的任意高次冪開方法一樣，又一種與之并行的新的以“增乘方法”開任意高次冪的方法，后一種方法較前者有很明顯的優(yōu)越性，它不但比古法簡單，而且經(jīng)過劉益、秦九韶等人的工作，更發(fā)展成為我國數(shù)學(xué)史上大放光彩的高次方程的數(shù)值解法。

劉益，曾著有《議古根源》，現(xiàn)已失傳，但其中的某些問題，曾被楊輝編入《田百比類乘除捷法》（公元1275年）一書之中。

秦九韶，南宋杰出的數(shù)學(xué)家之一。于1247年寫成數(shù)學(xué)著作《數(shù)書九章》，共八十一題，分成九大類，每類各九題，九題又各立名目。

李治，其數(shù)學(xué)巨著為《測圓海鏡》和《益古演段》。在這兩本書中，李治對“天元術(shù)”進(jìn)行了系統(tǒng)的敘述。

朱世杰，元朝著名數(shù)學(xué)家，其杰出的創(chuàng)作為《四元玉鑒》。朱世杰在此著作中把天元術(shù)由一個未知數(shù)推廣到二元、三元及四元的高次聯(lián)立方程組。這是中國中世紀(jì)數(shù)學(xué)家們繼天元術(shù)之后的又一項杰出的創(chuàng)造。

2.宋元數(shù)學(xué)的主要成就

賈憲的增乘開方法的運(yùn)算法則，不論開平方，開立方以至開任何高次冪都是一致的。劉益的正負(fù)開方術(shù)不僅可以求解一般方程式，而且并不拒系數(shù)正負(fù)，實在是一項杰出的成就。所以楊輝說“劉益以勾股之術(shù)治演段鎖方，撰議古根源二百門帶益隅（首項為負(fù)者）開方實冠前古。”繼賈憲劉益之后，秦九韶進(jìn)一步發(fā)展了“高次方程數(shù)值求解法”——“正負(fù)開方術(shù)”。楊輝《田畝比類乘除捷法》卷下引用了《議古根源》中的二十二個問題，其中僅即乘除而未用開方算法者有題二次的兩項方程共七題，值得注意的是其中有如下兩問，這兩個問題相當(dāng)于求解方程：7x２=9072，4x２=144，亦即它們的二次項系數(shù)不為1，就現(xiàn)有史料來看，這還是這種類型問題的首次出現(xiàn)。

與“高次方程數(shù)值求解法”同樣聞名世界的秦九韶的另一杰出成就即是“大衍求一術(shù)”。《數(shù)書九章》中的大衍求一術(shù)發(fā)揚(yáng)光大了整數(shù)論中一次同余式問題的解法，是他的得意之作，也是中國古代數(shù)學(xué)的一項偉大成就。秦九韶青年時曾在杭州向太史局佚職的人學(xué)習(xí)天文學(xué)，了解到了一些上元積年的推算方法。他把上元積年的推算法與《孫子算經(jīng)》“物不知數(shù)”題的解法聯(lián)系起來，寫出了他的大衍求一術(shù)。李冶的“天元術(shù)”與現(xiàn)代代數(shù)教程中列方程的方法極為相似。“天元術(shù)”為中國古代數(shù)學(xué)找到了一種普通的列方程的方法。

朱世杰在《四元玉鑒》中，把天元術(shù)由一個未知數(shù)推廣到二元、三元及四元的高次聯(lián)立方程組，這是中國中世紀(jì)數(shù)學(xué)家們繼天元術(shù)之后的又一項杰出的創(chuàng)造。祖頤在《后序》中說：“按天地人物立成四元，以元?dú)饩又校旃矗▁），地股（y），人弦（z），物黃方（w），上升下降，左右進(jìn)退，互通變化，乘除往來，用假象真，以虛向?qū)崳e綜正負(fù)，分成四式，必以寄之，剔之，余籌易位，橫沖直撞，精而不雜，自然而然，消而和會以成開方之式也。”［３］這段文字介紹出四元術(shù)的主要內(nèi)容。

3.宋元數(shù)學(xué)的影響

上文所提宋元數(shù)學(xué)家的代表著作中提出許多具有世界意義的杰出成就，其中主要是賈憲、劉益、秦九韶的高次方程數(shù)值解法（增乘開方法），秦九韶的聯(lián)立一次同余式的解法（大衍求一術(shù)），李冶《測圓海鏡》中的立方程的方法（天元術(shù)），以及朱世杰的《四元玉鑒》中的多元高次聯(lián)立方程的解法（四元術(shù)），除上文介紹的宋元數(shù)學(xué)家的杰出成就，還有楊輝的著作和朱世杰《算學(xué)啟蒙》中的大部分內(nèi)容反映了民間實用數(shù)學(xué)的迫切需要，并且對籌算計算方法進(jìn)行了改革，使之簡化，尋求各種“捷法”，改進(jìn)各種計算用的“歌訣”，等等。朱世杰在《四元玉鑒》中還對各種有限項級數(shù)求和問題進(jìn)行了研究，并在此基礎(chǔ)上得出高次差的招差公式。

縱觀古今，宋元數(shù)學(xué)家將前人的數(shù)學(xué)成就發(fā)展到一個更高階段，而繼宋元之后的明清數(shù)學(xué)發(fā)展緩慢，再沒有明顯的進(jìn)步。因此說，宋元數(shù)學(xué)達(dá)到了中國古代數(shù)學(xué)登峰造極的地位。

如果把這些成就和世界上其他地區(qū)的同樣成果相比較，宋元數(shù)學(xué)中的高次方程數(shù)值解法，實質(zhì)上是和霍納（W.G Horner，1819）方法相同的，如按奏九韶《數(shù)書九章》（1247）來進(jìn)行比較，霍納要晚出五百余年；朱世杰多元高次方程組的解法比別朱（E.Be’zowt，1775）早出四百余年，秦九韶聯(lián)立一次同余式的解法比歐拉的解法早出五百余年，高次的招差法公式比格利高里和牛頓的公式早出三百七十年左右。可以看出：宋元數(shù)學(xué)不僅是中國古代數(shù)學(xué)史上光輝的篇章，同時還是中世紀(jì)世界數(shù)學(xué)史上最豐富多彩的一頁，盡管是在中世紀(jì)交通極為不便的情況下，宋元數(shù)學(xué)對朝鮮、日本及西至北非地區(qū)某些國家之間數(shù)學(xué)知識的交流和發(fā)展仍都產(chǎn)生了一定的影響。

參考文獻(xiàn)：

［1］錢寶琮.宋元數(shù)學(xué)史論文集［M］.科學(xué)出版社，1985.

［2］梁宗巨.世界數(shù)學(xué)通史［M］.遼寧教育出版社，2001.