積分學(xué)中的對(duì)稱性問題

摘要本文通過一元函數(shù)積分學(xué)中的奇偶對(duì)稱性問題，推廣到了二元及二元以上的多元函數(shù)，并得到了圓域上二重積分及球形區(qū)域上三重積分的輪換對(duì)稱性。

關(guān)鍵詞多元函數(shù)奇偶對(duì)稱性輪換對(duì)稱性

中圖分類號(hào):O172文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

積分學(xué)是微積分的主要內(nèi)容，也是高等數(shù)學(xué)的主要組成部分。如果能掌握積分學(xué)中的對(duì)稱性問題，將使某些運(yùn)算變得非常簡(jiǎn)單。在一元積分問題中有:

引理1 (1)若f(x)在上連續(xù)且為奇函數(shù)，

則;

(2)若f(x)在上連續(xù)且為偶函數(shù)，

則。

實(shí)際上，上述引理也適用于二元及二元以上的多元函數(shù):

定理1設(shè)f(x，y)是區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)，

(1)若f(x，y)是關(guān)于y的奇函數(shù)，D是關(guān)于x軸上下對(duì)稱的，則;

(2)若f(x，y)是關(guān)于x的奇函數(shù)，D是關(guān)于y軸左右對(duì)稱的，則;

(3)若f(x，y)是關(guān)于y的偶函數(shù)，D是關(guān)于x軸上下對(duì)稱的，則，其中D1是D在x軸上方的一部分;

(4)若f(x，y)是關(guān)于x的偶函數(shù)，D是關(guān)于y軸左右對(duì)稱的，則，其中D1是D在y軸左方的一部分.

證明:(僅證(1)) 設(shè)D=D1+D2，

解:由于積分區(qū)域D關(guān)于x軸上下對(duì)稱，，關(guān)于y是奇函數(shù)，所以;又D關(guān)于y軸左右對(duì)稱，5xy2關(guān)于x是奇函數(shù).從而，原式=.

類似地，對(duì)于三重積分，有

推 論1若關(guān)于面上下對(duì)稱(左右對(duì)稱，前后對(duì)稱)，關(guān)于z(y，z)是奇函數(shù)，則.

推論2若積分區(qū)域是球形區(qū)域:，則

例2 求

解:由于關(guān)于面上下對(duì)稱，2xz關(guān)于z是奇函數(shù)，則;又關(guān)于xoz面左右對(duì)稱，關(guān)于y是奇函數(shù)，則.因此，原式=