淺談復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算方法

摘要復(fù)變函數(shù)中積分是研究解析函數(shù)的重要工具。本文對(duì)復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算方法進(jìn)行總結(jié)并探討。

關(guān)鍵詞復(fù)變函數(shù)的積分 不定積分 留數(shù)定理 積分定理

中圖分類(lèi)號(hào):O174文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

復(fù)變函數(shù)中的積分不僅是研究解析函數(shù)的重要工具，也是它的后繼課程積分變換的基礎(chǔ)，所以就復(fù)變函數(shù)的積分計(jì)算方法進(jìn)行總結(jié)和探討是十分必要的。復(fù)變函數(shù)中積分分閉曲線(xiàn)和非閉曲線(xiàn)兩類(lèi)。本文就這兩種積分的計(jì)算方法進(jìn)行總結(jié)和探討。

1 函數(shù)沿非閉曲線(xiàn)的積分的計(jì)算

1.1定義法

定義 設(shè)有向曲線(xiàn)以為起點(diǎn)，為終點(diǎn)，沿有定義。順著從到的方向在上去分點(diǎn):，把曲線(xiàn)分成若干個(gè)弧段。在從到的每一個(gè)弧段上任取一點(diǎn)，作和式，其中。時(shí)，的極限存在并等于，則稱(chēng)沿(從到)可積，并稱(chēng)為沿(從到)的積分。記作:

例1求，其中為起點(diǎn)在終點(diǎn)在的逐段光滑曲線(xiàn).

解 將代入定義中的得:

=

∴

1.2參數(shù)方程法

在簡(jiǎn)單光滑曲線(xiàn)上連續(xù)，欲計(jì)算積分的步驟如下:第一步:寫(xiě)出曲線(xiàn)的參數(shù)方程 ，(常遇到的是圓弧或直線(xiàn)段) ;第二步:求出，將代入中;第三步:將積分化為關(guān)于的定積分=，并計(jì)算該定積分。

例2計(jì)算，其中為起點(diǎn)在0終點(diǎn)在的直線(xiàn)段.

解 的參數(shù)方程為:

在上，，

1.3利用不定積分與公式

曲線(xiàn)的起點(diǎn)及終點(diǎn)在被積函數(shù)的解析性區(qū)域內(nèi)的積分可用此方法。在此方法中高等數(shù)學(xué)里的換元積分法和分部積分法仍然適用。

例3計(jì)算.

解

2 函數(shù)沿閉曲線(xiàn)的積分的計(jì)算

2.1參數(shù)方程法

做題步驟同前的參數(shù)方程法，不同的是這兒的曲線(xiàn)一般為圓。

例4計(jì)算，，其中積分路徑是一條包含點(diǎn)的正向圓周.

解 的參數(shù)方程為:，

2.2積分定理

若在封閉曲線(xiàn)內(nèi)解析且在上連續(xù)，則=0。

例5計(jì)算.

解 由積分定理得:

2.3挖奇點(diǎn)法

若函數(shù)在正向簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)內(nèi)部除有限個(gè)奇點(diǎn)外處處解析，在上解析，則計(jì)算可采用挖奇點(diǎn)法，具體步驟如下:在的內(nèi)部作條簡(jiǎn)單正向閉曲線(xiàn)(一般為圓)分別包含奇點(diǎn)，使得互不相交，互不包含，與也不相交，則

例6計(jì)算.

解 在內(nèi)部作兩個(gè)圓:

注:1.此題在做題過(guò)程中用到積分

==0

定理和例4的結(jié)論。

2.4此例題還可對(duì)被積函數(shù)變形進(jìn)行計(jì)算。

=-

=0

4積分公式

例7計(jì)算.

解

=

=

=

注:可以用積分公式計(jì)算的積分必須滿(mǎn)足以下條件:(1)積分路徑為簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn);(2)被積函數(shù)為分式函數(shù)，被積函數(shù)在積分路徑內(nèi)部只有一個(gè)奇點(diǎn)且該奇點(diǎn)是使分母等于零的點(diǎn);在積分路徑上沒(méi)有被積函數(shù)的奇點(diǎn);(3)被積函數(shù)可變形為，其中在積分路徑內(nèi)部及積分路徑上解析。

2.5高階導(dǎo)數(shù)公式

例8計(jì)算.

解

=

注:可以用高階導(dǎo)數(shù)公式計(jì)算的積分必須滿(mǎn)足以下條件:(1)(2)同前，(3)被積函數(shù)可變形為，其中在積分路徑內(nèi)部及積分路徑上解析。

有時(shí)計(jì)算積分需要將上述幾種計(jì)算方法結(jié)合起來(lái)。

例9 計(jì)算.

解 作:，:

∴

設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外處處解析。是內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)的一條正向簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)，則=.

例10計(jì)算.

當(dāng)被積函數(shù)在積分路徑內(nèi)部只有有個(gè)孤立奇點(diǎn)，在積分路徑外只有一個(gè)孤立奇點(diǎn)為時(shí)，則

=

例11計(jì)算.

計(jì)算復(fù)變函數(shù)的積分還有其他方法，如幅角原理、級(jí)數(shù)、轉(zhuǎn)化為曲線(xiàn)積分等。本文不再一一討論。

參考文獻(xiàn)

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