空間中動點軌跡的求法

摘要近幾年各地高考，模擬題中頻繁出現空間中的軌跡問題，很多同學對這類題目不知如何下手，本文主要針對這一問題的三種不同類型提出三種解決辦法。

關鍵詞立體幾何 軌跡 定義法 解析法

中圖分類號:O18文獻標識碼:A

高考數學考試大綱中有一句這樣的話:“在知識網絡交匯點設計試題，使學生對數學基礎知識的考查達到必要的深度”。而立體幾何與解析幾何作為幾何的兩大分支，很容易被出題者作為一個載體，因此近幾年各地的高考題，模擬題出現了很多空間中的軌跡問題。這類問題立意新，知識交叉滲透，很多學生無從下手。本文通過介紹三種有效方法，讓學生能順利解決這類題目。

1 利用立體幾何中的公理 定理 性質

例1(2006年北京卷)平面的斜線AB交于點B，過定點A的動直線l與AB垂直，且交于點C，則動點C的軌跡是()

A.一條直線 B.一個圓 C.一個橢圓D.雙曲線的一支

分析 設l與m是過點A且與AB垂直的任意的兩條直線，由于兩條相交直線確定一個平面，可設這個平面為，由題意可知AB⊥，因為過一點有且只有一個平面與已知直線垂直，所以平面是唯一的，所以。故選A。

點評:本題利用公理2求解，立體幾何很多公理 定理 性質對求解軌跡問題是有幫助的。

例2(04年天津文8)如圖，定點A和B都在平面內，定點，，C是內異于A和B的動點，且。那么，動點C在平面內的軌跡是()

A. 一條線段，但要去掉兩個點

B. 一個圓，但要去掉兩個點

C. 一個橢圓，但要去掉兩個點例2圖

D. 半圓，但要去掉兩個點

分析:由三垂線定理的逆定理得

即∠ACB=900. 故C點的軌跡為以AB為直徑的圓，但除去A、B兩點。

點評:本題主要是利用了三垂線定理的逆定理，使空間問題平面化。

2 利用圓錐曲線的定義

例3(04年北京卷)如右圖，在正方體中，是側面內一動點，若到直線與直線的距離相等，則動點的軌跡所在的曲線是()

A. 直線 B.圓C.雙曲線D.拋物線

分析:因為垂直平面，所以P到等于P到的距離，因此問題轉化成平面內，求動點P的軌跡，例3圖使其到定點的距離等于到定直線BC的距離，故選D。

點評:本題先把問題轉化到平面內去，然后利用拋物線的定義。

例4 如圖，P是正四面體S-ABC的面SBC上一點，P到面ABC的距離與到點S的距離相等，則動點P的軌跡是()

A. 圓 B. 橢圓 C. 雙曲線 D. 拋物線

分析: 過P作PD⊥面ABC，則PD=PS，過D作DE⊥BC，連結PE，則PE⊥BC，且∠PED是二面角S-BC-A的平面角，為定值設為，且PD=PEsin，即PS=PEsin，顯然PE>PS，這說明動點P到定點S的距離與它到定直線BC的距離之比例4圖為大于0小于1的常數，故選B。

點評:本題利用了轉化的數學思想，即空間問題平面化，然后在平面里運用橢圓的第二定義解決。

3 利用解析法求軌跡

例5正方體中，側面ABB1A1內有一點P滿足:點P到直線AB的距離與點P到直線AD1的距離相等，求點P的軌跡。

分析:如圖，過P作PQA1A則PQ 平面A1ADD1過Q作QR⊥AD1，連PR，由三垂線定理知PR⊥AD1，即PR為P到直線AD1的距離，因為PR2=PQ2+QR2， 例5圖 PM=PR， 在平面ABB1A1內建立如圖所示的平面直角坐標系，并設P(x，y)用坐標代入上面兩式得x2+y2=y2。所以軌跡是兩條直線。

例6四棱錐P-ABCD中，AD⊥面PAB，BC⊥面PAB，底面ABCD為梯形，AD=4，BC=8，AB=6，∠APD=∠CPB，滿足上述條件的四棱錐的頂點P的軌跡是()

A 圓 B 不完整的圓

C 拋物線D 拋物線的一部分(下轉第92頁)(上接第86頁)

分析:因為AD⊥平面PAB，BC⊥平面PAB，所以∠PAD= ∠PBC=90€? 又∠APD=∠CPB，所以，同時AD=4，BC=8，AB=6，利用相似比可得，接下來，在平面PAB內以AB所在直線為x軸，AB中點O為坐標原點建立平面直角坐標系，則A(-3，0)，B(3，0). 例6圖

設點P(x，y)，則整理得，為一個圓的方程，由于P點不在直線AB上，故軌跡為一個不完整的圓，選B。

點評:例5，例6這兩道題用前面兩種方法不太好入手，這時我們可以先把問題轉化到同一個平面內，通過解析法，即建系描點的辦法得出方程，再來判斷軌跡。

當然上述三種策略、辦法不是孤立的，而是互相聯系、互相滲透的，其中有一種重要的數學思想即轉化的思想是貫串始終的，空間問題平面化是解決立體幾何的根本，這一點我們一定要有足夠的認識。

參考文獻

[1] 梁棟，時靜.中學生數學.立體幾何中軌跡問題的解題策略.樅陽教育， 2008(17)http://www.ahzyjy.net .