函數(shù)一致連續(xù)性的幾個新的判別方法

摘 要： 本文作者給出了函數(shù)的一致連續(xù)性的極限判別法、導(dǎo)數(shù)判別法，以及推廣的利普希茨條件等新的判別法。

關(guān)鍵詞： 一致連續(xù)性 極限判別法 導(dǎo)數(shù)判別法 利普希茨條件判別法

函數(shù)的一致連續(xù)性是數(shù)學(xué)分析中應(yīng)用非常普遍、重要而又抽象的數(shù)學(xué)概念之一，它體現(xiàn)了函數(shù)在某個區(qū)間上的整體性質(zhì)，是微積分學(xué)的基礎(chǔ)，并且對后續(xù)課程的學(xué)習(xí)起著關(guān)鍵作用。許多專家和學(xué)者在這方面做了大量的工作，文獻(xiàn)［1］給出了函數(shù)一致連續(xù)性的定義法，文獻(xiàn)［２］利用利普希茨條件法來判定函數(shù)的一致連續(xù)性，本文筆者給出了極限判別法和導(dǎo)數(shù)判別法并對文獻(xiàn)［３］給出的利普希茨條件判別法進(jìn)行推廣。

1.極限判別法

定理1.1 設(shè)f(x)在［a，+∞］上連續(xù)，且［f(x)-kg(x)］=b，其中k，b為常數(shù)，g(x)在［a，+∞)一致連續(xù)，則f(x)在［a，+∞)上一致連續(xù)。

推論1. 1 設(shè)f(x)在［a，+∞)上連續(xù)且f(x)=b，則f(x)在［a，+∞)上一致連續(xù)。

推論1. 2 若函數(shù)y=f(x)有斜漸近線，則函數(shù)f(x)在［a，+∞)上一致連續(xù)。

（注：推論1.1是文獻(xiàn)［３］的結(jié)論，推論1.2是文獻(xiàn)［４］的結(jié)論。）

推論1.3 f(x)在［a，+∞）上連續(xù)且滿足(f(x)-kx)=b(p≤1)，則f(x)在［a，+∞）上一致連續(xù)。

2.導(dǎo)數(shù)判別法

定理2.1 設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，且g(x)在區(qū)間I上一致連續(xù)，對?坌x，x∈I(x≠x)有g(shù)(x)≠g(x)，f′(x)與g′(x)在區(qū)間I上不同時為0，有界，則f(x)在區(qū)間I上一致連續(xù)。

推論2. 1 若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，且f′(x)有界，則f(x)在區(qū)間上I一致連續(xù)。

（注：推論2.1 是文獻(xiàn)［３］的結(jié)果。）

推論2. 2 若函數(shù)f(x)，g(x)在區(qū)間［a，+∞)上可導(dǎo)，當(dāng)導(dǎo)數(shù)不同時為0且=A(A為常數(shù)），g(x)在區(qū)間［a，+∞)上一致連續(xù)且對?坌x，x∈I(x≠x)有g(shù)(x)≠g(x)，則f(x)在區(qū)間［a，+∞)上一致連續(xù)。

推論2. 3 若函數(shù)f(x)在區(qū)間［a，+∞)上可導(dǎo)，且f′(x)=k（k為常數(shù)），則有f(x)在區(qū)間［a，+∞)上一致連續(xù)。

（注：推論2.3 是文獻(xiàn)［３］的結(jié)果。）

3. 利普希茨條件判別法

引理3.1［1］ 若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，g(x)在區(qū)間I上一致連續(xù)，?堝常數(shù)L＞0，若滿足｜f(x)-f(x)｜≤L｜g(x)-g(x)｜，則f(x)在區(qū)間I上一致連續(xù)。

引理3.2［２］ 若對?坌ε＞0，?堝常數(shù)L＞0，使得對滿足｜f(x)-f(x)｜＞L｜x-x｜的x，x∈I(x≠x)，總有｜f(x)-f(x2)｜＜ε，則函數(shù)f(x)在區(qū)間I上一致連續(xù)。

定理3.1 f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，g(x)在區(qū)間I上一致連續(xù)，若對?坌ε＞0，?堝常數(shù)L＞0，使得滿足｜f(x)-f(x)｜＞L｜g(x)-g(x)｜的x，x∈I(x≠x)，總有｜f(x)-f(x)｜＜ε，則函數(shù)f(x)在區(qū)間I上一致連續(xù)。

證明：由定理條件可知對?坌ε＞0，?堝常數(shù)L＞0，使得對滿足｜f(x)-f(x)｜≥ε的x，x∈I，總有｜f(x)-f(x)｜≤L｜g(x)-g(x)｜。

由引理3.1知f(x)在區(qū)間I上一致連續(xù)。

參考文獻(xiàn)：

［１］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析［M］.高等教育出版社，北京，2001.

［２］李克典，馬云苓.數(shù)學(xué)分析選講［M］.廈門大學(xué)出版社，2005.

［３］石秀文. 判別函數(shù)一致連續(xù)性的幾種簡單易用的方法［J］.宜賓學(xué)院學(xué)報，2007.

［4］楊峻，何朝兵.函數(shù)一致連續(xù)性的判定［J］.安陽師范學(xué)院學(xué)校，2006.