中學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)

摘 要： 運(yùn)算能力是一項(xiàng)基本的數(shù)學(xué)能力，要培養(yǎng)中學(xué)生的運(yùn)算能力，一定要提高對(duì)以下幾點(diǎn)的認(rèn)識(shí)：運(yùn)算能力的意義及基本要求；準(zhǔn)確理解概念，熟練掌握法則；強(qiáng)化求簡(jiǎn)意識(shí)，發(fā)展運(yùn)算技能；注意合理設(shè)計(jì)，提高運(yùn)用水平。

關(guān)鍵詞： 中學(xué)數(shù)學(xué) 運(yùn)算能力 要點(diǎn)

運(yùn)算能力是一項(xiàng)基本的數(shù)學(xué)能力，中學(xué)數(shù)學(xué)的《教學(xué)大綱》和“考試說明”都把它列在諸項(xiàng)數(shù)學(xué)能力的首位。許多解決數(shù)學(xué)問題的好設(shè)想、好思路，也都往往要通過一定的運(yùn)算才能體現(xiàn)出它的價(jià)值。但是，當(dāng)前中學(xué)生的運(yùn)算能力不盡如人意，“會(huì)而不對(duì)”、“半途而廢”等現(xiàn)象相當(dāng)普遍。有的學(xué)生總認(rèn)為是“粗心”、“馬虎”，無關(guān)大局。其實(shí)，這是因?yàn)閷W(xué)生的運(yùn)算能力不過硬。

要培養(yǎng)提高中學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，我們必須提高對(duì)以下幾個(gè)要點(diǎn)的認(rèn)識(shí)。

一、中學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的意義及基本要求

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，運(yùn)算應(yīng)該包括數(shù)值計(jì)算、各種式的運(yùn)算、數(shù)列的極限運(yùn)算、集合的運(yùn)算，各種運(yùn)算都有其各自的意義、法則、公式，以及有關(guān)的運(yùn)算規(guī)律，各種運(yùn)算的結(jié)果都要求具有存在性和唯一性，對(duì)于結(jié)果的表述要求具有最簡(jiǎn)性。運(yùn)算能力是指會(huì)根據(jù)法則、公式正確地進(jìn)行運(yùn)算和處理數(shù)據(jù)，并能準(zhǔn)確地理解算理，根據(jù)問題的條件和結(jié)論之間的關(guān)系，尋求與設(shè)計(jì)合理、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑。運(yùn)算能力決不僅僅是一個(gè)耐心、仔細(xì)、不怕煩的問題，它既包括對(duì)運(yùn)算意義、法則、公式的正確理解，又包括對(duì)運(yùn)算程序、步驟及有關(guān)運(yùn)算律的熟練掌握，還包括對(duì)簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑的合理設(shè)計(jì)。我們只有把有關(guān)運(yùn)算的知識(shí)、技能和相當(dāng)?shù)乃季S能力有機(jī)地結(jié)合在一起，在解決有關(guān)數(shù)學(xué)運(yùn)算問題時(shí)才能做到萬無一失、游刃有余。

二、準(zhǔn)確理解概念，熟練掌握法則

一些學(xué)生往往記不住中學(xué)數(shù)學(xué)中眾多的運(yùn)算及其公式、法則，對(duì)于不少有關(guān)集合的問題要輔以圖形才能進(jìn)行回答，對(duì)于許多運(yùn)算公式的變形，不同角度地運(yùn)用、缺乏必要的思考等都影響了運(yùn)算的正確進(jìn)行，影響了熟練的運(yùn)算技能的形成。

例如：設(shè)：f（x）是（-∞，+∞）上的奇函數(shù)，f（x+2）=-f（x），當(dāng)0≤x≤1時(shí)f（x）=x，則f（75）=（ ）。 （A）05（B）-0.5（C）15（D）-15

分析：本題可以從多種角度去理解，我們選擇運(yùn)算角度：由于題目規(guī)定當(dāng)0≤x≤1時(shí)，才有f（x）=x，而75∈［0，l］所以不能直接計(jì)算，我們只有運(yùn)用f（x+2）=-f（x），f（x）是奇函數(shù)的條件找到f（75）與某個(gè)f（x ）（x ∈［0，1］）的關(guān)系，運(yùn)算才能進(jìn)行。

解：f（75）=f（55+2）=-f（55）=-f（35+2）=f（35）=f（15+2）=-f（15）=-f（-05+2）=f（-05）=-f（05），而05∈［0，1］，故f（05）=05，于是有f（75）=-05，從而決定本題選（B）。

由以上例子可見，準(zhǔn)確理解運(yùn)算的意義，正確記憶和靈活運(yùn)用法則、公式，按不同運(yùn)算的不同要求，采取適當(dāng)形式，有序地做出運(yùn)算，是培養(yǎng)運(yùn)算能力中應(yīng)抓好的基礎(chǔ)環(huán)節(jié)。

三、強(qiáng)化求簡(jiǎn)意識(shí)，發(fā)展運(yùn)算技能

理解算理、強(qiáng)化求簡(jiǎn)意識(shí)、發(fā)展運(yùn)算技能是培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力中高一層次的要求。這一點(diǎn)要求我們從小處著眼，從點(diǎn)滴做起，才能起到提高培養(yǎng)的效果。培養(yǎng)中學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力不僅有“會(huì)”和“對(duì)”的要求，而且有“好”的要求。合理選擇簡(jiǎn)捷運(yùn)算的途徑，不僅是迅速運(yùn)算的需要，更是運(yùn)算準(zhǔn)確性的保證，運(yùn)算的步驟越多，繁度越大，出錯(cuò)的可能性也會(huì)增大，因而根據(jù)問題的條件和要求，合理選擇簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑是提高運(yùn)算能力的關(guān)鍵。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，這種合理選擇的基本依據(jù)大致有以下幾個(gè)方面：1.靈活把握數(shù)學(xué)概念，合理選擇簡(jiǎn)捷運(yùn)算途徑。2.適當(dāng)選擇公式法則，并靈活運(yùn)用，合理選擇簡(jiǎn)捷運(yùn)算途徑。3.適當(dāng)換元“代塊”，合理選擇簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑。4.針對(duì)不同題型的不同特點(diǎn)，合理選擇簡(jiǎn)捷運(yùn)算途徑。

例如：已知{a }數(shù)列，其中C =2 +3 ，且數(shù)列{C -PC }為等比數(shù)列。求常數(shù)P。

解：利用數(shù)列{C -PC }前三項(xiàng)成等比數(shù)列，建立常數(shù)P的方程，求值P，再驗(yàn)證所求P滿足題意?！逤 =2 +3 ，∴C =5，C =13，C =35，C =97?！逤 -PC ，C -PC ，C -PC 成等比數(shù)列，∴（35-13P） =（13-5P）（97-35P），∴P=2或P=3。而C -PC =-2 顯然在兩種情況下，{C -PC }都成等比數(shù)列。故P=2或P=3成立。

注：若只注意一般推理，因運(yùn)算量較大，往往難以解答。如果及時(shí)將問題退到特殊位置，先求出使問題成立的必要條件，再驗(yàn)證充分性，得到一般結(jié)論，則運(yùn)算量會(huì)大大簡(jiǎn)化，并能使問題得以迅速解決。

四、注意合理設(shè)計(jì)，提高運(yùn)用水平

中學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力不僅體現(xiàn)在處理一些直接計(jì)算的問題上，而且體現(xiàn)在綜合性問題中，運(yùn)算作為工具，這里應(yīng)處理好兩個(gè)問題：一是常規(guī)運(yùn)算方法與特殊運(yùn)算方法的選擇問題；二是恰當(dāng)?shù)卦O(shè)計(jì)合理的運(yùn)算方案的問題，它的目標(biāo)仍然是準(zhǔn)確、迅速、合理、簡(jiǎn)捷。

例如：解不等式：x -5|x|+6﹤0。

分析：解方程或不等式的過程，實(shí)際上是式的運(yùn)算和變換的過程，不過這里的變換必須符合等價(jià)的要求。不等式求解的常見思路是化去其中的絕對(duì)值符號(hào)，把含絕對(duì)值符號(hào)的不等式等價(jià)變換成不含絕對(duì)值符號(hào)的不等式。但由于本題的特殊結(jié)構(gòu)，也有非常規(guī)的解法。

解法（1）：運(yùn)用常見思路（略）。

解法（2）：原不等式等價(jià)于|x| -5|x|+6<0，等價(jià)于2<|x|﹤3。

x>2或x<-2-3

說明一：解法（1）可以根據(jù)實(shí)數(shù)絕對(duì)值的定義，運(yùn)用分類討論的思想解決問題，過程較長(zhǎng)，運(yùn)算較繁。解法（2）根據(jù)實(shí)數(shù)絕對(duì)值的性質(zhì)，運(yùn)用換元法，過程較短，運(yùn)算簡(jiǎn)單，不同的思路，產(chǎn)生不同的運(yùn)算變形，簡(jiǎn)繁稍有區(qū)別。

說明二：避免盲目運(yùn)算，尋求合理、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑是較高層次問題，要把握算理，把握研究系統(tǒng)變幻的整體性，對(duì)于解決類似問題大有益處。

由以上可看到，盡管不同的綜合性問題求解，有它自身的特點(diǎn)和規(guī)律，但運(yùn)算的工具性作用是不可少的。其中數(shù)和式的變形，不一定是一般意義下的化簡(jiǎn)，而要體現(xiàn)在某種目標(biāo)下的適當(dāng)運(yùn)算過程，并且還要顧及運(yùn)算過程盡可能簡(jiǎn)捷，這是運(yùn)算能力最高層次的要求，是駕馭數(shù)學(xué)問題能力的一種表現(xiàn)，我們只有在實(shí)踐中勤于思考，不斷總結(jié)，才能達(dá)到較高的水準(zhǔn)。

參考文獻(xiàn)：

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