Ｓｃｈｗａｒｚ引理的啟示

摘 要： 本文從Schwarz引理出發(fā)，將Schwarz引理的條件稍作修改，把單位開(kāi)圓盤(pán)換為有界域，把‖f‖ ≤1，換成f（Ω）?奐Ω，使f有界，并設(shè)f（a）=a，a∈Ω，得到了和Schwarz引理比較類(lèi)似的結(jié)論。

關(guān)鍵詞： Schwarz引理 解析函數(shù) 有界域 Cauchy定理

1.引言

復(fù)分析中的Schwarz引理如下：假設(shè)f（z）∈H ={單位開(kāi)圓盤(pán)上的有界解析函數(shù)的全體}，‖f‖ ≤1，f（0）=0，則必有|f（z）|≤|z|，（z∈U）。U表示單位單位開(kāi)圓盤(pán)，|f′（0）|≤1；并當(dāng)|f′（0）|=1或?qū)δ硞€(gè)z∈U，|f（z ）|=|z |?圳f=λz，λ為常數(shù)，且|λ|=1，ieλ=e ，x∈R，其中‖f‖ = |f（z）|。

下面將上述Schwarz引理的條件稍作修改：把單位開(kāi)圓盤(pán)U換成一般的有界域Ω，‖f‖ ≤1換成f（Ω）?奐Ω，使f有界；f（a）=a，a∈Ω，那么是否能有Schwarz引理的結(jié)論呢？

2.主要結(jié)論

定理：設(shè)Ω是有界域，a∈Ω，且f在Ω上解析，f（Ω）?奐Ω，f（a）=a，則：

（i）|f′（a）|≤1；

（ii）若f′（a）=1，則f（z）=z，?坌z∈Ω；

（iii）若|f′（a）|≤1，則f是一對(duì)一（one-to-one），且f（Ω）?奐Ω。

證明：（i）設(shè)f =f，f =f（f ），則有：

（1）f （a）=f（f （a））=f（a）=a，

（2）f （Ω）=f（f （Ω））?奐f（Ω）?奐Ω，

（3）f （z）在Ω上解析。

又∵f′ （a）=f′（a），f′ （a）=（f（f（a）））′=f′（f（a））·f′（a）=（f′（a）） ，

因而得知：f′ （a）=（f′（a）） 。因而由Cauchy估值公式|f （z）|≤ ，

其中M= |f（z）|，Г∶|z-a|=k，Г?奐Ω，

∴|f′ （a）|≤ ?圯|f′（a）| ≤ ，此處M= |z|?圯|f′（a）|≤ →1（n→∞），因而|f′（a）|≤1。

（ii）設(shè)f′（a）=1，下證f（z）=z，?坌z∈Ω，

由于f在a點(diǎn)上解析，因而能展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)。

f（z）=f（a）+f′（a）（z-a）+ （z-a） +…+ （z-a） +…=a+z-a+ （z-a） +…?劬z+c （z-a） +…（*）（m≥2）

而f （z）=f（f（z））=f（z）+c （f（z）-a） +…=z+2c （z-a） +…

f （z）=f （f（z））=z+3c （z-a） +…

因而不難用歸納法證明：f （z）=z+nc （z-a） +…。

下證c =0。暫時(shí)固定n。

∵對(duì)f （z）而言其泰勒展開(kāi)式的m次項(xiàng)系數(shù)應(yīng)為 ，

∴f（z）=m!（n·c ），從而再一次利用Cauchy估值定理，

|m!·nc |=|f（z）|≤ ?圯|c |≤ →0（n→∞），

∴c =0。因而由（*）知，f（z）=z，?坌z∈Ω。

為了證明（iii），引用文獻(xiàn)［1］中的一個(gè)引理：

設(shè)Ω是域（連通開(kāi)集），f ∈H（Ω），n=1，2，…，{f }在Ω的任一緊子集上一致收斂到f。若f非常數(shù)，且f （Ω）?奐Ω′，Ω′是另一個(gè)域，則f（Ω）?奐Ω′。

設(shè)γ=f′（a），|γ|=1，可設(shè)γ=e ，θ∈R，因而存在整數(shù)n →∞，使得γ→1；又設(shè)f （z）→g（z），k→∞，{f （z）}一致有界且解析，從而g（z）亦解析。又∵f （Ω）?奐Ω，由引理知g（Ω）?奐Ω。

此外g（a）= f′ （a）= γ =1，故函數(shù)g滿足定理（ii）的條件?！鄃（z）=z。

設(shè)z ，z ∈Ω，f（z ）=f（z ）?圯f （z ）=f （z ）?圯g（z ）=g（z ）?圯z =z ，故f是一對(duì)一的，即單射。又∵g（z）= f （z）?圯g（z）∈f（Ω）?圯g（Ω）?奐f（Ω），而g（Ω）=Ω（∵g（z）=z），∴Ω?奐f（Ω）。于是f（Ω）=Ω。證畢。

參考文獻(xiàn)：

［1］Walter Rudin.Real And Complex Analysis 3rd Edition，Mcgraw-Hill Co.，1987.

［2］鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論.高等教育出版社（第二版），1987.

［3］［美］布朗.復(fù)變函數(shù)及應(yīng)用.機(jī)械工業(yè)出版社，2004.1.

［4］M.A.拉夫連季耶夫等著.施祥林等譯.復(fù)變函數(shù)論方法.高等教育出版社，2006.1.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文