導數在經濟學中“邊際”和“彈性”方面的應用

摘 要： 導數在經濟領域中的應用非常之泛，其中“邊際”和“彈性”是導數在經濟分析應用中的兩個重要概念。把經濟活動中一些現象歸納到數學領域中，用我們所學的數學知識進行解答，對很多經營決策起了非常重要的作用。

關鍵詞： 導數 邊際 彈性

隨著我國市場經濟的不斷發展，應用數學知識定量分析經濟及管理領域中的問題，已成為經濟學理論中一個重要組成部分。導數是微積分中一個重要概念，它是函數關于自變量的變化率。在經濟學中，也存在變化率問題，如：邊際問題和彈性問題。下面筆者將導數在這兩方面的應用介紹如下：

一、邊際問題

在經濟學中，所謂“邊際”指的是當x的改變量△x→0時，y的相應改變量△y與△x比值 的變化。即當x在某一給定值附近有微小變化時y的瞬時變化，也即=y′（x）則稱導數y′（x）是y（x）的邊際函數。隨著x、y含義不同，邊際函數的含義也不一樣，一般分為兩大類：邊際成本和邊際收益。

1.邊際成本

設生產某產品的總成本函數為C=C（q），其中q為產量，則邊際成本MC=C′（q）。其經濟含義是：當產量為q時，再生產一個單位產品所增加的總成本為C′（q）。

在經營決策分析中，邊際成本可以用來判斷產量的增減在經濟上是否合算。

例1：某種產品的總成本C（萬元）與產量q（萬件）之間的函數關系式為：

C=C（q）=100+4q-0.2q +0.01q ，

求生產水平為q=10（萬件）時的平均成本和邊際成本，并從降低成本角度看，繼續提高產量是否合算？

解：當q=10時的總成本為

C（10）=100+4×10-0.2×10 +0.01×10 =130（萬元），

平均成本為 =130÷10=13元/件，

邊際成本MC| =C′（q）| =（4-0.4q+0.03q）| =3元/件。

因此在生產水平為10萬件時，每增加一個產品，總成本增加3元，比當前的平均成本13元低，從降低成本角度看，應該繼續提高產量。

由此例可知，若設p為某產品銷售單價，當C′（q ）＜p時，意味著擴大生產量是盈利的；而當C′（q ）＞p時，擴大生產量反而虧損。因此，企業的經營者應及時準確了解邊際成本的變化情況，并作出正確的科學決策（而不是盲目地一味擴大生產量），從而使企業獲得較佳效益。

2.邊際收益

邊際收益指稍微增加其種經濟活動所帶來的利益的增量。實際上就是收益函數瞬時變化率，從數學的角度來看，它是一個導數問題。

設收益函數R=R（q），其中q為產量，則邊際收益MP=R′（q）。其經濟含義是：在銷售量為q個單位的基礎上，廠商增加一個單位產品△q，銷售所獲得的總收入的增量。

當R′（q）＞0時，總收入將增加R′（q）;

當R′（q）＜0時，總收入將減少R′（q）;

當R′（q）=0時，總收入不改變。

二、彈性問題

在經濟分析中，會經常用到彈性分析法，彈性是一個十分有用的概念。一般地說，彈性描述的是因變量對自變量的變化的反應程度，具體的說，也就是要計算自變量變化1個百分比，因變量要變化幾個百分比，即用彈性系數來表示：

彈性系數= 。

我們以需求價格彈性為例介紹，其他的類似可得。

1.需求價格彈性

需求價格彈性表示需求量對價格的反應程度，其彈性系數為：

E =

= = ，

其中Q為某種商品的市場需求量，P為價格。

上式計算出的彈性系數代表兩點間的一段彈性，故叫弧彈性系數。若△P→0時，由此推出需求曲線任一點彈性系數。即點彈性系數

E= = · =Q′ 。

根據需求法則，需求量與價格成反向變動。其經濟意義為：當P=P ，若P再增加或減少1%，Q將減少（增加）E%，它反映自變量變化時函數變化的靈敏度。它對市場分析預測和定價策略具有重要參考價值。

不同商品的需求彈性相差甚遠，按照彈性值的大小，作以下劃分：

①|E|＞1，稱為需求富于彈性;

②|E|=1，稱為單元彈性;

③0＜|E|＜1，稱為需求缺乏彈性;

④|E|=0，稱為需求完全缺乏彈性;

⑤|E|→∞，稱需求量完全富于彈性。

最后兩種是極端情況，需求完全缺乏彈性的商品無論價格高低，需求量都不會改變；而需求完全富于彈性的商品價格在現行水平上稍微提高一點點，需求會立即下降至零。在現實生活中，極端情況很少見。下面舉一個例子來說明需求價格彈性的經濟意義。

例2：假設某市場上A、B兩公司是生產同種有差異產品的竟爭者，且市場上對A、B兩公司產品現有需求量已達到飽和，市場上A公司的需求函數為Q =400- P ，B公司的需求函數為Q =300- P ，兩公司的銷售價格分別為P =400元，P =500元，①求A、B兩公司的需求價格彈性并說明其經濟意義。②B公司的價格降價到400元時，這種行為選擇合理嗎？此時，A公司由銷售量減少而損失多少？

解：①由，P =400，P =500，得

Q =400- ×400=200，

Q =300- ×500=200，

從而市場上對該產品的飽和需求量為Q +Q =200+200=400。

A公司的需求價格彈性E = · =- · =-1。

由于|E |=1，所以當P =400時，該商品是單元彈性，此時價格上漲1%，將引起需求量下降1%。

B公司的需求價格彈性E = · =- · =- ，

由于|E |= ＜1，所以當P =500時，該商品是需求缺乏彈性，此時價格上漲1%，需求量下降 %。

②B公司在P =500時需求價格彈性|E |= ＜1，即需求缺乏彈性，降價會減少銷售收入。

因為降價前，B公司的銷售收入R =500×200=100000，降價后，當P =400時，Q =300- ×400=220，則B公司的銷售收入R =400×220=88000。

顯然R ＜R ，B公司降價減少了它的銷售收入，所以對于B公司追求銷售收入最大化的目標而言，它降低在經濟上是不合理的。

另外，降低前A公司的銷售收入R =400×200=80000，降價后，由于該產品的飽和需求為400，所以Q =180，則A公司的銷售收入R =400×180=72000，損失80000-72000=8000元。

三、結語

對于企業來說，進行邊際分析和彈性分析是非常重要的，企業如果離開邊際分析而盲目生產，就會造成資源的巨大浪費；企業如果離開需求價格彈性分析，就不可能達到利潤最大化的目標。導數作為邊際分析和彈性分析的工具，可以給決策者提供客觀、精確的數據，從而作出合理的決策。

參考文獻：

［1］黃亞鈞，郁義鴻.微觀經濟學［M］.高等教育出版社，2000.

［2］中國人民大學數學教研室.微觀經濟數學應用基礎（一）［M］.中國人民大學出版社，1982.

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