以形助數(shù)，以數(shù)輔形

摘 要： “數(shù)形結(jié)合”既是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要思想，又是數(shù)學(xué)研究的常用方法。教師在教學(xué)中經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)設(shè)“數(shù)形結(jié)合”的情境，不僅可以溝通數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系，把代數(shù)式的精確刻畫與幾何圖形的直觀描述有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，從而在這種結(jié)合中尋找到解題的思想與方法，而且有利于開拓學(xué)生的解題思路，發(fā)展學(xué)生的形象思維能力。

關(guān)鍵詞： “數(shù)形結(jié)合” 函數(shù)圖像 抽象 “以形助數(shù)” “以數(shù)輔形”

恩格斯指出：“純數(shù)學(xué)的對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系。”“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)的基本研究對(duì)象，它們之間存在著對(duì)立統(tǒng)一的辯證關(guān)系。我們要認(rèn)識(shí)兩者的辯證關(guān)系，要認(rèn)識(shí)到矛盾雙方的相互轉(zhuǎn)化。在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言同直觀的圖形相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)抽象的概念與具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，這就是“數(shù)形結(jié)合”。在高中數(shù)學(xué)中，“數(shù)形結(jié)合”是一條重要的數(shù)學(xué)原則，主要體現(xiàn)在平面解析幾何和立體幾何中。在解決集合問(wèn)題、方程、不等式及函數(shù)問(wèn)題時(shí)，如果能注意數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，尋找解題思路，就能使問(wèn)題化難為易、化繁為簡(jiǎn)，從而得到解決。華羅庚先生說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休。”在數(shù)形轉(zhuǎn)化結(jié)合的過(guò)程中，必須遵循下述原則：轉(zhuǎn)化等價(jià)原則，數(shù)形互補(bǔ)原則，求解簡(jiǎn)單原則。在教學(xué)滲透“數(shù)形結(jié)合”時(shí)，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生掌握以下幾點(diǎn)：

1.善于觀察圖形，以揭示圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系。

2.正確繪制圖形，以反映圖形中相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系。

3.切實(shí)把握“數(shù)”與“形”的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以圖識(shí)性，以性識(shí)圖。

下面從幾個(gè)方面談一談“數(shù)形結(jié)合”在解題中的應(yīng)用。

一、“數(shù)形結(jié)合”在解決集合問(wèn)題中的應(yīng)用

1.利用文氏圖法解決抽象集合問(wèn)題。

一般用圓來(lái)表示集合，兩圓相交則表示兩集合有公共元素，兩圓相離則表示兩個(gè)集合沒(méi)有公共元素。利用文氏圖法能直觀地解答有關(guān)集合之間的關(guān)系的問(wèn)題。如：

例1：開校運(yùn)動(dòng)會(huì)時(shí)，高一（五）班共有28名同學(xué)參加比賽，有15人參加游泳比賽，有8人參加田徑比賽，有14人參加球類比賽，同時(shí)參加游泳和田徑比賽的有3人，同時(shí)參加游泳和球類比賽的有3人，沒(méi)有人同時(shí)參加三項(xiàng)比賽，問(wèn)同時(shí)參加田徑和球類比賽的有多少人？只參加游泳一項(xiàng)比賽的有多少人？

解：設(shè)A={參加游泳比賽的學(xué)生}，B={參加田徑比賽的學(xué)生}，C={參加球類比賽的學(xué)生}，同時(shí)參加田徑和球類比賽的學(xué)生有x人，作出符合題意的文氏圖：由題意可知：card(A∩B)=3，card(A∩C)=3，card(B∩C)=x，則15+8+14-3-3-x=28，得x=3。因此，同時(shí)參加田徑和球類比賽的有3人，只參加游泳一項(xiàng)比賽的有15-3-3=9人。

2.利用數(shù)軸解決集合的有關(guān)運(yùn)算和集合的關(guān)系問(wèn)題。

例2：若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5}，B={x|3≤x≤22}，求使A?哿B成立的a的集合。

先在數(shù)軸上表示出集合B的范圍，要使A?哿B，由包含于的關(guān)系可知集合B應(yīng)該覆蓋集合A，因?yàn)锳為非空集合，所以2a+1≤3a-5，a≥6。又∵A?哿B，如圖所示：可知2a+1≥33a-5＜22，∴1≤a≤9。綜上所得：6≤a≤9。

因此，運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”解題，往往會(huì)化抽象為具體，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，將集合的交、并、補(bǔ)的關(guān)系直觀、形象地顯示而有利于運(yùn)算。

二、利用“數(shù)形結(jié)合”解決方程和不等式問(wèn)題

1.利用二次函數(shù)的圖像求一元二次不等式的解集。

一元二次不等式與一元二次函數(shù)（方程）之間的緊密關(guān)系是眾所周知的。拋物線y=ax +bx+c（a＞0）與x軸的相關(guān)位置分為三種情況，這可以由一元二次方程ax +bx+c=0的判別式Δ=b -4ac的三種取值情況來(lái)確定。因此，在解不等式時(shí)一定要注意最高項(xiàng)系數(shù)是否為正，要分兩種情況討論。

例3：求不等式-x +2x-3＞0的解集。

分析：我們先聯(lián)想對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)y=-x +2x-3的圖像草圖，很明顯，無(wú)論x取任何值時(shí)都有y＜0，即-x +2x-3＜0，∴-x +2x-3＞0的解集為空集，因而-x +2x-3＜0的解集為全體實(shí)數(shù)。

因此，我們要求一元二次不等式的解集時(shí)，只要聯(lián)想對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像，確定拋物線的開口方向和與軸的交點(diǎn)情況，便可直觀地看出所求不等式的解集。

2.利用二次函數(shù)的圖像解決一元二次方程根的分布情況問(wèn)題。

例4：已知關(guān)于x的方程2kx -2x-3k-2=0的兩實(shí)根一個(gè)小于1，另一個(gè)大于1，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

分析：若直接利用求根公式解答此題，則要解復(fù)雜的無(wú)理不等式組。如果從函數(shù)觀點(diǎn)出發(fā)，令f(x)=2kx -2x-3k-2，則由根的分布，函數(shù)f(x)的圖像只能如圖所示。對(duì)應(yīng)的條件是k＞0f(1)＜0或k＜0f(1)＞0。

解：由以上分析可知，令f(x)=2kx -2x-3k-2。為使方程f(x)=0的兩個(gè)根一個(gè)小于1，另一個(gè)大于1，只需使k＞0f(1)＜0或k＜0f(1)＞0，解得k＞0或k＜-4。

一般的，關(guān)于根的分布問(wèn)題均可引入函數(shù)，由函數(shù)圖像的特征構(gòu)造解法，使問(wèn)題得以巧妙解決。

通過(guò)以上幾道例題的分析求解，可知二次函數(shù)有豐富的內(nèi)涵和外延。作為最基本的冪函數(shù)，可以以它為代表來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)，可以建立起函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系，可以編擬出層出不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問(wèn)題，區(qū)分出學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。

3.利用函數(shù)圖像解決方程的近似解或解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，即數(shù)形對(duì)照，相互滲透。

例5：解方程3 =2-x。

分析:由方程表達(dá)式我們可以聯(lián)想起函數(shù)y=3 與y=2-x，作出這兩個(gè)函數(shù)的圖像，這兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為方程的近似解，可以看出方程的近似解為x≈0.4。

4.利用函數(shù)的圖像解不等式，即由數(shù)想形，直觀顯現(xiàn)。

例6：解不等式 ＞x+1。

解：設(shè)y= ，即y =2(x+ )(x≥- ，y≥0)，對(duì)應(yīng)的曲線是以A(- ，0)為頂點(diǎn)，開口向右的拋物線的上半支。而函數(shù)y=x+1的圖像是一直線。解方程可求出拋物線上半支與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，取拋物線位于直線上方的部分，故得原不等式的解集是{x|- ≤x＜2}。

“數(shù)形結(jié)合”能將抽象的問(wèn)題直觀化、形象化，能使問(wèn)題靈活直觀地獲解，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中我們要注意把握善于運(yùn)用這種數(shù)學(xué)思想。

三、利用函數(shù)圖像比較函數(shù)值的大小

一些數(shù)值大小的比較，我們可轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)的函數(shù)值，利用它們圖像的直觀性進(jìn)行比較。

例7：試判斷0.3 ，log 0.3，2 三個(gè)數(shù)的大小順序。

分析：這三個(gè)數(shù)可以看成三個(gè)函數(shù)y =x ，y =log x，y =2 在x=0.3時(shí)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出這三個(gè)函數(shù)的圖像(如圖)，從圖像可以直觀地看出當(dāng)x=0.3時(shí)，所對(duì)應(yīng)的三個(gè)點(diǎn)P ，P ，P 的位置，從而可得出結(jié)論：2 ＞0.3 ＞log 0.3。

四、利用方程的幾何意義轉(zhuǎn)化“數(shù)形結(jié)合”

例8：如果實(shí)數(shù)x、y滿足（x-2） +y =3，則 的最大值為（）。

解：設(shè)點(diǎn)A（x，y）在圓(x-2) +y =3上，圓心為C(2，0)，半徑等于 。如圖，則 是點(diǎn)A與原點(diǎn)連線的斜率。當(dāng)OA與⊙C相切，且切點(diǎn)A落在第一象限時(shí)，k 有最大值，即 有最大值。因?yàn)镃A= ，OC=2，所以O(shè)A= =1，所以（ ） =tan∠AOC= 。

由此可知，“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的兩個(gè)基本對(duì)象，對(duì)于一些問(wèn)題，單純地從“數(shù)”的角度去分析探求需要分類討論，運(yùn)算會(huì)較繁冗，因此應(yīng)當(dāng)設(shè)法從“形”的角度去構(gòu)造直觀圖形來(lái)刻畫問(wèn)題的條件和結(jié)論，使錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系變得清晰可辨，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。

“數(shù)形結(jié)合”是一個(gè)重要數(shù)學(xué)方法，是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的一個(gè)基本方法，它包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面。“數(shù)”與“形”結(jié)合，相互滲透，把代數(shù)式的精確刻畫與幾何圖形的直觀描述相結(jié)合，使代數(shù)問(wèn)題、幾何問(wèn)題相互轉(zhuǎn)化，使抽象思維和形象思維有機(jī)結(jié)合。應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”，就是充分考查數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何意義，將數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙結(jié)合。深刻理解這一觀點(diǎn)，有利于提高我們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

參考文獻(xiàn)：

［1］劉志聯(lián).構(gòu)造幾何模型巧解代數(shù)題.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2003，1.

［2］薛金星.中學(xué)教材全解.陜西人民教育出版社.

［3］數(shù)理化解題研究（高中版）.2006年第09期目錄.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文