不可忽視導數的函數本色

導數進入中學數學教材之后，給傳統的中學數學內容注入了生機與活力，拓寬了高考的命題空間。但在平時教學中，筆者發現學生往往忽略了導數即導函數的簡稱，未能從函數的圖像和性質進行分析，進而影響了導數問題的切入。下面筆者結合一些高考題或高考模擬題，從函數視角分析導數。

一、從導數的圖像進行分析

例1：（06天津卷）函數f（x）的定義域為開區間（a，b），導函數f′（x）在（a，b）內的圖像如圖所示，則函數f（x）在開間（a，b）內有極小值點（）。

A.1個B.2個

C.3個D.4個

解析：函數f（x）的定義域為開區間（a，b），導函數f′（x）在（a，b）內的圖像如圖所示，函數f（x）在開區間（a，b）內有極小值的點即函數由減函數變為增函數的點，其導數值為由負到正的點，只有1個，選A。

例2：（05湖北卷）已知向量 =（x ，x+1）， =（1-x，t），或函數f（x）= · 在區間（-1，1）上是增函數，求t的取值范圍。

分析：依定義f（x）=x （1-x）+t（x+1）=-x +x +tx+t，

f′（x）=-3x +2x+t。

若f（x）在（-1，1）上是增函數，則在（-1，1）上可設f′（x）≥0。

∵f′（x）的圖像是開口向下的拋物線，

∴當且僅當f′（1）=t-1≥0，且f′（-1）=t-5≥0時，f′（x）在（-1，1）上滿足f′（x）＞0，即f（x）在（-1，1）上是增函數。

故t的取值范圍是t≥5。

二、從導數奇偶性分析

例3：（07福建理11）已知對任意實數x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），且x＞0時f′（x）＞0，g′（x）＞0，則x＜0時，（）。

A.f′（x）＞0，g′（x）＞0B.f′（x）＞0，g′（x）＜0

C.f′（x）＜0，g′（x）＞0D.f′（x）＜0，g′（x）＜0

解析：由題意知，f（x）為奇函數，g（x）為偶函數，所以f′（x）為偶函數，g′（x）為奇函數，由奇偶函數的圖像特征及已知可得，當x＜0時，f′（x）＞0，g′（x）＜0，故選B。當然，本題若從導數幾何意義結合圖像思考，也不難得出B為正確答案。

三、從導數的單調性分析

例4：（08福建卷）已知函數y=f（x），y=g（x）的導函數的圖像如下圖，那么y=f（x），y=g（x）的圖像可能是（）。

分析：由導函數的單調性不難發現y=f（x）的切線斜率逐漸增大，y=g（x）的切線斜率逐漸減小，從而排除A、C。由于y=g（x）切線斜率變化比較快，故排除B。選D。

例5：（05湖北卷）若0＜x＜ ，則2x與3sinx的大小關系（）。

A.2x＞3sinxB.2x＜3sinx

C.2x=3sinxD.與x的取值有關

分析：設f（x）=2x-3sinx，則f′（x）=2-3cosx。

∵y=f′（x）在（0， ）上是增函數，∴f′（x）＞f（0）=0。

∴y=f（x）在（0， ）上是增函數，∴f（x）＞f（0），∴2x-3sinx＞0。

故選A。

四、從導數整體性質分析

例6：（08泉州模擬）當0＜x＜π，試判斷sin 與 的大小關系，并加以證明。

分析：根據圖像可以初步判斷sin ＞ 。

構造函數g（x）=sin - ，g′（x）= cos - x 。

f（x）=cos 在（0，π）上遞減，又y=- x 在（0，π）上遞減。

∴g（x）在（0，π）上遞減。

∵g′（0）= ＞0，g′（π）=- ＜0，g′（π）在［0，π］連續，

∴必存在唯一的x ∈（0，π），使得g′（x ）=0。

①當0＜x≤x 時，恒有g′（x ）≥0，g（x）在（0，x ］遞增，∴g（x）＞g（0）=0。

②當x ＜x＜π時，恒有g′（x ）＜0，g（x）在（0，x ］遞減，∴g（x）＞g（π）=0。

由①②得，對0＜x＜π恒有g（x）＞0，即sin ＞ 成立。

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