用好法向量，巧解立幾題

很多學生在做立體幾何題時，感到無從下手。這種情況也不為怪，因為立體幾何題靈活多樣，對學生的空間想象能力要求較高。蘇教版選修2-1教科書中增加了向量的內容，這無疑對我們解決立體幾何題提供很大的幫助，特別是法向量，可以解決大部分立幾計算問題。以下舉例說明法向量在立幾中的一些應用。

一、利用法向量證明線面平行、面面平行

幾何原理：①a⊥α，b⊥a，b?埸α?圯b∥α；②a⊥α，b⊥β，a∥b?圯α∥β。

向量原理：①若和直線平行的向量與平面的法向量垂直，則直線與平面平行；②若兩個平面的法向量平行，則兩平面平行。

例1：已知正方體ABCD-A B C D 的棱長為2，E、F分別是AA 、CC 的中點，求證：（1）EB ∥平面BDF；（2）平面BDF∥平面B D E。

證明：如圖1所示建立空間直角坐標系D-xyz，則有D（0，0，0）、B（2，2，0）、F（0，2，1）、D （0，0，2）、B （2，2，2）、E（2，0，1），

∴=（0，2，1）， =（2，2，0）， ={-2，0，1}，設 =（x，y，1）， =（m，n，1）分別為平面BDF和平面B D E的法向量，

∵ ⊥ ， ⊥

∴ · =0， · =0，

解之得： =（0.5，-0.5，1）

同理可得： =（0.5，-0.5，1）

（1）∵ ·=0

∴⊥

∴∥平面BDF

（2）∵ ∥

∴平面BDF∥平面B D E

二、利用法向量證明線面垂直、面面垂直

幾何原理：①a⊥α，b∥a?圯b⊥α；②a⊥α，b⊥β，a⊥b?圯α⊥β。

向量原理：①若直線的方向向量與平面的法向量平行，則直線與平面垂直；②若兩個平面的法向量垂直，則兩平面垂直。

例2： 如圖2，PA⊥矩形ABCD所在平面，AB=2AD=2PA，m，n分別是AB，PC的中點，求證：（1）MN⊥平面PDC；（2）平面AMN⊥平面PDC。

證明：如圖所示建立空間直角坐標系A-xyz，設PA=a，則A（0，0，0，）、P（0，0，a）、B（0，2a，0）、C（-a，2，0）、D（-a，0，0）、M（0，a，0）、N（- ，a， ）。

∴ =（- ，0， ）， =（0，2a，0）， =（a，0，a）。

設 =（x，y，1）， =（m，n，1）分別為平面PDC和平面AMN的法向量，

∵ ⊥ ， ⊥

∴ · =0， · =0，

解之得： =（1，0，-1）。

同理可得： =（1，0，1）。

（1）∵ =-

∴MN⊥平面PDC

（2）∵ · =0

∴平面AMN⊥平面PDC

三、利用法向量求線面角、二面角

向量原理：①斜線與平面所成的角和斜線與該平面的法向量所成角（銳角）互余或和斜線與該平面的法向量所成的角（鈍角）的補角互余；②二面角的兩個面的法向量的夾角或夾角的補角就是這個二面角的平面角。

例3：（2003年高考試題）如圖3，直三棱柱ABC—A B C 中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，側棱AA ＝2，D、E分別是CC 與A B的中點，點E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G。

（1）求A B與平面ABD所成角的大小（結果用反三角函數值表示）；

（2）求二面角B—AD—C的大小。（編者自己加的）

解：以C為原點，CA所在直線為x軸建立空間直角坐標系，設AC的長為a，則A(a、0、0)，B(0、a、0)，D(0、0、1)，A (a、0，2)，則點G( 、 、 )，E( 、 、1)。由于E在面ABD內的射影為G點，所以GE⊥面ABD，又 =（a，0，-1）， =（-a，a，0）， =（ 、 、 ），由 · =0及 · =0可得 - =0- + =0，解得a=2。

(1)取 =（ ， ， ）=（ ， ， ）為平面ABD的法向量， =(-2，2，-2)設A B和平面ABD所成的角為θ，則sinθ= = = 。

故所求A B和平面ABD所成的角為arcsin 。

（2）平面ACD的法向量 =（0，1，0），

設 與 的夾角為α，則cosα= = ，

∴二面角B—AD—C的大小為arccos 。

四、利用法向量求點面距離

向量原理：如圖4，Q是平面α內任意一點，要求點O到平面α的距離|OP|，若求出平面Q是α的法向量 和 與 所夾的銳角θ，則|OP|=| |cosθ= = 。

例4：（例3原第二問）求點A1到平面AED的距離。

解：在平面AED中 =(-1、1、1)，=(-2、0、1)。

設平面AED的法向量為 =（x，y，z），由 · =0 · =0可得-x+y+z-2x+z=0?圯y=-xz=2x，所以 =（x，-x，2x），令x=1取平面AED的法向量為 =（1，-1，2），

又A在平面AED中 =(0、0、-2)，記A 到平面AED的距離為d，

則d= = =。

求直線到與它平行平面的距離和求兩個平行平面的距離均可轉化為點到平面的距離來求。

前面介紹了利用法向量解決空間幾何的證明與計算問題，實現了幾何問題的代數化，將復雜的幾何證明轉化為代數運算，從而避免了幾何作圖，減少了邏輯推理，降低了難度。但公式的應用也有一定的局限性，一般地，在能建立空間直角坐標系的情況下，特別是求線面角、二面角、距離問題上，利用法向量較為有效。若不能建立空間直角坐標系，可采用基底表示的方法，此時計算量會增大，但問題還是可以順利解決的。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文