典型概率問(wèn)題的解法辨析

在概率的教學(xué)中，學(xué)生會(huì)從多種角度思考問(wèn)題，并得出多種解法。然而問(wèn)題就在這里，由于概率是獨(dú)立一章，學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)時(shí)，對(duì)概念的把握不是很清楚，因此分析概率題時(shí)就會(huì)出現(xiàn)一些似對(duì)非對(duì)的想法。下面我就自己在教學(xué)中遇到的兩個(gè)典型概率題進(jìn)行辨析，希望對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)概率有幫助。

問(wèn)題一：甲乙兩隊(duì)進(jìn)行網(wǎng)球總決賽，比賽規(guī)則是：五局三勝制，即甲隊(duì)或乙隊(duì)誰(shuí)先累計(jì)獲勝三局比賽，該隊(duì)就是總決賽的冠軍。若在每局比賽中，甲獲勝的概率均為0.6，每局比賽必須分出勝負(fù)，且每局比賽勝或負(fù)不影響下一局比賽的勝負(fù)，求甲隊(duì)獲得冠軍的概率。

解法一：分析：甲要獲勝說(shuō)明甲分別打完3局、4局、5局才取勝。甲打3局取勝，說(shuō)明打3局甲均取勝；甲打4局取勝，說(shuō)明甲第4局勝，前3局中勝2局?jǐn)?局；甲打5局勝說(shuō)明第5局勝，前4局中2局勝2局?jǐn)　?/p>

解：設(shè)甲隊(duì)獲得冠軍為事件A，則A包含比賽三局、四局、五局獲得冠軍的三種情況，且它們彼此互斥，

解法二：分析：甲要獲勝只要5局中有3局勝就行了。

兩種解法結(jié)果不一樣。有學(xué)生提出第三種解法。

解法三：設(shè)甲隊(duì)獲得冠軍為事件C，則C包含五局比賽中比賽勝三局、勝四局、勝五局三種情況，且它們彼此互斥，

第三種解法和第一種解法的結(jié)果是一樣的，怎樣解釋？這是數(shù)字的巧合呢，還是真有道理？為了讓學(xué)生打開(kāi)困惑，我作如下辨析：

辨析一，我把問(wèn)題中的數(shù)字更換為比賽規(guī)則是七局四勝制，即甲隊(duì)或乙隊(duì)誰(shuí)先累計(jì)獲勝四局比賽，該隊(duì)就是總決賽的冠軍。用這兩種解法計(jì)算得到的結(jié)果是相同的。

辨析二，分析甲獲勝時(shí)有多少種情況。

第一種解法中設(shè)甲勝乙為事件A，則事件A包含：

如果從五局比賽整體考慮甲勝乙的情況：

第三種解法中設(shè)甲勝乙為事件C，則事件C包含：

對(duì)基本事件的分析，說(shuō)明事件A與事件C是相同的兩事件，故所求概率必相等，所以第三種解法也是有道理的，從理論上講完全正確。但是在實(shí)際的比賽中，為了節(jié)省人力、物力，往往使用的是第一種解法的過(guò)程。通過(guò)此題的辨析，學(xué)生得到了一種解這類題的方法，學(xué)生可以用不同的解法檢查自己的答題的正確性。

問(wèn)題二：袋中3只紅球，5只白球，現(xiàn)把球隨機(jī)地一只一只摸出來(lái)，摸出后不再放回，求第四次摸出的球是紅球的概率。

解法一：分析：把8只球看作互不相同，但僅將前4次摸出的球依次排成一排，每排法作為一個(gè)基本事件，那么基事件概率公式求。

解：記“第四次摸出的球是紅球”為事件A，

解法二：對(duì)同色球不加區(qū)別，即認(rèn)為3只紅球都是相同的，5只白球也都是一樣的，把所有球一一摸出，基本事件解法二關(guān)注的僅僅是前4次的摸球，顯然考慮問(wèn)題片面，不符合等可能事件的概率公式中的m，n的求法。所以第二種解法需要修改。

正確解法：考慮前4次摸球的顏色（后4次也要分析到）分四類：

則基本事件共有n=56種。

又將第4次摸出地紅球的事件按前3次球的顏色（考慮后4次地情況）分三類：

說(shuō)明對(duì)于等可能事件的概率問(wèn)題要把握好基本事件的個(gè)數(shù)的求法，而對(duì)于球是否相同對(duì)概率的結(jié)果沒(méi)有影響。

上述概率問(wèn)題的辨析過(guò)程告訴我們，在判定一數(shù)學(xué)題的解法是否正確，只滿足于計(jì)算結(jié)果是不行的，我們要學(xué)會(huì)從問(wèn)題的本質(zhì)入手，從最本質(zhì)的最直觀的角度分析，才可以達(dá)到“柳暗花明又一村”的境地。我們要有嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的態(tài)度，對(duì)學(xué)生的疑惑要從根本處講清楚，不能隨意把學(xué)生閃爍的智慧光芒熄滅。