函數解析式求法例析

函數解析式是函數與自變量之間的一種對應關系，是函數與自變量之間建立聯系的橋梁。在高中數學中有求函數解析式的一類題，它與課本上的函數這一內容關系密切，并且具有一定的規律性。 現就求解方法例析如下：

一、拼湊法

已知f［g（x）］的解析式，要求f（x）時，可從f［g（x）］的解析式中拼湊出“g（x）”，即用g（x）來表示，再將解析式的兩邊的g（x）用x代替的方法叫做拼湊法。

例1：已知f（1+）=-3，求f（x）。

分析：∵f（1+）＝-3=（1++）-1--3=（1+）-（1+）-2，（1+≠1）

∴f（x）=x-2x-2（x≠1）。

例2：已知f（-1）=x+2，求f（x）。

分析：∵f（-1）=（-1）+4（-1）+3，而-1≥-1，

∴f（x）=x+4x+3（x≥-1）。

二、換元法

對于已知f［g（x）］的表達式，求f（x）的解析式這類問題，總可以令t=g（x），解出x=φ（t），代入f［g（x）］的表達式，推導出f（t）的解析式，最后將t改寫成x得到f（x）的解析式，這種方法即為換元法。

如上例2，還可以如下解：

令t=-1，則t≥-1，且=t+1，

f（t）=（t+1）+2（t+1）=t+4t+3，

故所求函數f（x）=x+4x+3（x≥-1）。

例3：設f（cosx-1）=cosx，求f（x）。

分析：令t=cosx-1，

∴cosx=t+1。

又-1≤cosx≤1，

∴-2≤cosx-1≤0，

即-2≤t≤0。

∴f（t）=（t+1）（-2≤cosx-1≤0），即f（x）=（x+1），x∈［-2，0］。

注：對以上兩種方法，在求完解析式后，要注意函數的準確定義域，這是容易忽略的。

三、 定義法

結合函數的結構特征，即利用其對應法則得出解析式。

例4：設f［f（x）］=，求f（x）。

分析：∵f［f（x）］===，

觀察其結構特征，

∴f（x）=。

例5：設f（cosx）=cos17x，求f（sinx）。

分析：利用對應法則有f（sinx）=f［cos（-x）］=cos17（-x）

=cos（8π+-17x）=cos（-17x）=sin17x。

四、待定系數法

已知f（x）的函數類型，要求f（x）的解析式時，可根據類型設其解析式，從而確定其系數的方法。

例6：已知函數f（x）是一次函數，且f［f（x）］=4x+3，求f（x）。

分析：依題意可設f（x）=ax+b（a≠0），

則f［f（x）］=a（ax+b）+b=ax+ab+b=4x+3

∴a=4ab+b=3?圯a=2b=1或a=-2b=-3，

∴函數為f（x）=2x+1或f（x）=-2x-3。

例7：已知f（x-2）=2x-9x+13，求f（x）。

分析：觀察條件易知f（x）是一個一元二次函數。

設f（x）=ax+bx+c（a≠0），

則f（x-2）=a（x-2）+b（x-2）+c=ax+（b-4a）x+（4a-2b+c）。

又f（x-2）=2x-9x+13，

比較系數得：a=2b-4a=-94a-2b+c=13，

解得：a=2b=-1c=3，

∴f（x）=2x-x+3。

注：我們學過的函數還有正比例函數y=kx，反比例函數y=（k≠0），以及指數函數y=a，對數函數y=logx，冪函數y=x等，我們都要相應學會應用。

五、解方程組法

一般而言，若條件中同時出現f［φ（x）］與f［ψ（x）］，這里ψ（x）=或ψ（x）=φ（x），可先用換元法，令t=φ（x），解得x=φ（x），再用或-t代替x，得到f（t）和f（）或f（-t）為元的方程組，消去f（）或f（-t），解出f（t）的解析式，最后將t改寫成x得到f（x）的解析式，這種方法即為解方程組法。

例8：已知f（x）-2f（）=3x+2，求f（x）。

分析：令t=，則x=，f（）-2f（t）=3+2，

即f（）-2f（x）=+2。

與原式聯立，得f（x）-2f（）=3x+2f（）-2f（x）=+2?圯f（x）=-x--2。

故所求函數f（x）=-x--2。

例9：已知2f（x）+f（-x）=3x+2，求f（x）。

分析：2f（x）+f（-x）=3x+2…………（1）

2f（-x）+f（x）=-3x+2…………（2）

由（1），（2）可解得：f（x）=3x+。

六、賦值法（亦稱特殊值法）

一般而言，若已知條件是一個含有n個變量的等式，且該等式對變量允許范圍內的任何值都成立，則可考慮適當取一些特殊的數值，使等式變得簡易或能夠用上其他已知條件，并結合換元法，從而求出函數解析式，這種方法即為特殊值法。使用該方法的關鍵是能夠有針對性地、巧妙地選取若干特殊值，從而達到解題的目的。

例10：設f（x）是R上的函數，且滿足f（0）=1，并且對于任意實數x，y，有f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1），求f（x）。

分析：由f（0）=1，f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1）。

設x=y，得f（0）=f（x）-x（2x-x+1），即f（x）=x+x+1。

七、疊加法

例11：若f（1）=lg，且當x≥2時，滿足f（x-1）=f（x）-lga（a＞0，x∈N），求f（x）。

分析：∵f（x）=f（x-1）+lga（a＞0，x∈N）

遞推得：f（x-1）=f（x-2）+lga

f（x-2）=f（x-3）+lga

…

f（3）=f（2）+lga

f（2）=f（1）+lga

以上（x-1）個等式兩邊分別相加，

f（x）=f（1）+lga+lga+…+lga+lga

=f（1）+lga

=lg+lga

=lga

=［-1］lga

以上介紹的是幾種常見的求解函數解析式的方法，其中有些解法是相互聯系的。一個題目可能需要運用多種以上的方法才能獲解，因此，我們要多鍛煉綜合應用所掌握的方法，準確解決相關問題的能力，只有這樣，才能做到“對癥下藥”，使問題迎刃而解。

參考文獻：

［1］犁興平.抽象函數的幾種常見解法.