數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

摘 要： 數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想。數(shù)形結(jié)合的思想是數(shù)學(xué)的重要思想之一。本文介紹了這種思想的應(yīng)用及掌握。

關(guān)鍵詞： 數(shù)形結(jié)合思想 數(shù)學(xué)教學(xué) 應(yīng)用

1.引言

數(shù)學(xué)是以現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系作為自己特定的研究對(duì)象，也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)是研究“數(shù)”與“形”及其相互關(guān)系的一門(mén)科學(xué)。數(shù)形結(jié)合的思想是數(shù)學(xué)的重要思想之一。

數(shù)形結(jié)合的思想，就是將復(fù)雜或抽象的數(shù)量關(guān)系與直觀形象的圖形在方法上相互滲透，并在一定條件下相互補(bǔ)充、轉(zhuǎn)化的思想。恩格斯曾說(shuō)過(guò)：“純數(shù)學(xué)的對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系，‘?dāng)?shù)’和‘形’是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最基本的概念，它們既是對(duì)立的，又是統(tǒng)一的，每個(gè)幾何圖形中都蘊(yùn)含著與它們的形狀、大小、位置密切相關(guān)的數(shù)量關(guān)系；反之，數(shù)量關(guān)系又常常可以通過(guò)幾何圖形作出直觀的反映和描述。”數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)就是將抽象數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀圖形結(jié)合起來(lái)，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來(lái)，在解決代數(shù)問(wèn)題時(shí)想到它的圖形，從而啟發(fā)思維，找到解題之路；或者在研究圖形時(shí)，利用代數(shù)性質(zhì)解決幾何問(wèn)題［１］。因此，數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用分為兩種情況：一是借助于數(shù)的精確性來(lái)闡明形的某些屬性，即“以數(shù)論形”，比如給出一個(gè)三角形三邊為3、4、5，則我們要想到這個(gè)三角形是直角三角形；二是借助于形的幾何直觀性來(lái)表示數(shù)之間的某些關(guān)系，即“以形促數(shù)”，這樣的例子數(shù)不勝數(shù)。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想偏重于將某些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，這樣就有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題本質(zhì)。另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問(wèn)題便迎刃而解且解法簡(jiǎn)潔。數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛，常見(jiàn)的如求函數(shù)的值域、最值問(wèn)題，解方程及解不等式，或是求復(fù)數(shù)和三角函數(shù)方面。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，不僅容易直觀地發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，很大程度上簡(jiǎn)化了解題過(guò)程，這在解選擇、填空題時(shí)更顯其優(yōu)越。因此，教師要幫助學(xué)生逐步樹(shù)立起數(shù)形結(jié)合的觀點(diǎn)，將這一觀點(diǎn)扎根到學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去，成為運(yùn)用自如的思維工具。

以下從四個(gè)方面說(shuō)明如何熟練地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)解決數(shù)學(xué)中的許多問(wèn)題。

2.數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用

2.1函數(shù)與圖像的對(duì)應(yīng)關(guān)系

例1：x，y滿足25x+9(y-2)≤225，求函數(shù)μ=的值域。

分析：由題設(shè)可知，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)在橢圓+=1內(nèi)部（包括邊界），在直角坐標(biāo)系中取定點(diǎn)C(0，-5)。由圖1可知，μ可以看作是點(diǎn)P與點(diǎn)C的距離。當(dāng)點(diǎn)P與橢圓的上頂點(diǎn)B重合時(shí)，μ取得最大值12；當(dāng)點(diǎn)P與橢圓的下頂點(diǎn)B重合時(shí)，μ取得最小值2。故原函數(shù)值域是2≤μ≤12。

2.2方程與曲線的對(duì)應(yīng)關(guān)系

例2：a為何值時(shí)，方程y=與x+y-2ax+a-1=0只有三組公共解，并求其解。

分析：本題單純用判別式解不能解決問(wèn)題，必須考慮其隱含條件，如用幾何解法就比較容易挖掘隱含條件。

解：在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出拋物線y=x，再考慮畫(huà)圓(x-a)+y=1。如果圓心是(a，0)，半徑是1的圓與拋物線在軸上方有一個(gè)公共點(diǎn)，則根據(jù)它們的對(duì)稱(chēng)性，在x軸下方也有一個(gè)公共點(diǎn)，由于所求的是三個(gè)公共點(diǎn)，因而，還有一個(gè)公共點(diǎn)必然是原點(diǎn)。（如圖2）

顯然，只有a=1時(shí)，圓與拋物線在原點(diǎn)相切且與拋物線相交。此時(shí)，y=x(x-1)+y=1的解為x=0y=0，x=y=，x=y=-。

從上例可見(jiàn)，在很多題中，往往要通過(guò)邏輯推理及計(jì)算給予支持，即把“數(shù)”與“形”結(jié)合起來(lái)求解［２］。華羅庚先生曾這樣形容“數(shù)”“形”的關(guān)系：“數(shù)形本是相倚依，焉能分作兩邊飛？數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休。幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離。”［３］這是對(duì)數(shù)形結(jié)合思想方法最通俗、最深刻的剖析。

2.3等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有幾何意義

例3：解方程組9x+25y-100y=125 ?搖?搖 ①(x-4)+(y-2)=9?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖②

分析：將方程①變形為+=1，它的圖形是以(0，2)為中心，長(zhǎng)半軸為5，短半軸為3的橢圓。

設(shè)P(x，y)是橢圓上的任一點(diǎn)，方程②表示動(dòng)點(diǎn)P(x，y)到定點(diǎn)F(4，2)的距離等于3，而定點(diǎn)F(4，2)是橢圓的右焦點(diǎn)，因而|PF|是橢圓的焦半徑。則P到另一焦點(diǎn)的距離|PF|=2×5-|PF|=7，所以有(x+4)+(y-2)=7，此式與方程②聯(lián)立得x=，從而得出y=+2或y=+2。

故原方程組的解為x=y=+2或x=y=-+2。（如圖3）

對(duì)于此類(lèi)等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有幾何意義的問(wèn)題，在教學(xué)中教師可引導(dǎo)學(xué)生遵循以下三個(gè)步驟來(lái)達(dá)到解決的目的：（1）觀察問(wèn)題中式子的結(jié)構(gòu)是否具有幾何特征；（2）根據(jù)代數(shù)問(wèn)題的幾何特征去發(fā)現(xiàn)代數(shù)與幾何知識(shí)間存在的新關(guān)系；（3）抓住這個(gè)新關(guān)系，啟發(fā)學(xué)生擺脫傳統(tǒng)思維模式的束縛，向多角度、多結(jié)構(gòu)、多側(cè)面的思維方向去研究問(wèn)題，探尋解決問(wèn)題的最佳方案［４］。

2.4解析幾何

解析幾何是用代數(shù)方法來(lái)研究幾何圖形的一門(mén)學(xué)科，因此，數(shù)形結(jié)合必然是研究解析幾何問(wèn)題的重要手段。

例4：橢圓的極坐標(biāo)方程為ρ=，則它在短軸上兩個(gè)頂點(diǎn)的極坐標(biāo)是（?搖?搖?搖?搖）。

A.(3，0)，(1，π)?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖B.(，)，(，)

C.(2，)，(2，)?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖D.(，arctan)

分析：把橢圓方程變形為ρ=，由上式得橢圓離心率e=。如圖4，在極坐標(biāo)系中，設(shè)橢圓短軸端點(diǎn)為B、B，長(zhǎng)軸端點(diǎn)為A、A′，左焦點(diǎn)即是極點(diǎn)O，則其離心率e=恰好是短軸端點(diǎn)的極角余弦，即e==cos∠BOA（或cos∠B′OA）。因此，由cos∠BOA=，可得∠BOA=，即點(diǎn)B和B′的極坐標(biāo)中，極角分別是和。在本題所給四個(gè)選項(xiàng)中只有C符合上述結(jié)果，據(jù)此就可否定A、B、D，而選C。

在處理解析幾何問(wèn)題時(shí)，我們應(yīng)更加重視數(shù)與形的結(jié)合，既要充分發(fā)揮以“數(shù)”解“形”的解析幾何的基本思想，又應(yīng)時(shí)時(shí)注意數(shù)式推導(dǎo)的幾何背景。本題的解法抓住橢圓中的幾何意義，溝通了離心率與短軸端點(diǎn)極角的關(guān)系，從而避免了常規(guī)解法中的繁瑣運(yùn)算。

通過(guò)對(duì)上述例題的分析解答，我們可以發(fā)現(xiàn)利用數(shù)形結(jié)合的方法能使問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)、化難為易、化隱為顯，輕松快捷地使問(wèn)題得到解決。

3.數(shù)形結(jié)合思想的掌握

數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用的廣泛性及優(yōu)點(diǎn)，我們已從前面的分析總結(jié)中得以知曉。因此，要很好地掌握數(shù)形結(jié)合的思想，我們應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

（1）要善于觀察圖形，對(duì)圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系要有一定的認(rèn)識(shí)；

（2）正確繪制圖形，盡量清晰地反映圖形中相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系；

（3）把握“數(shù)”與“形”的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以“形”感知“數(shù)”，以“數(shù)”認(rèn)知“形”；

（4）靈活應(yīng)用數(shù)、形的轉(zhuǎn)化，提高思維的靈活性與創(chuàng)造性。

參考文獻(xiàn)：

［1］曾勁松.高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第三講：數(shù)形結(jié)合.深圳中學(xué)，2003.

［2］賀信淳，李平.試談數(shù)形結(jié)合思想在高考中的應(yīng)用.數(shù)學(xué)通報(bào)，1997，4.

［3］徐有政.略論數(shù)學(xué)形象思維.數(shù)學(xué)通報(bào)，1999，9.

［4］鐘煥清.代數(shù)問(wèn)題的幾何解法.數(shù)學(xué)通報(bào)，1990，6.