２００９年一道高考數學題的多解問題解析

山東省2009年高考數學試題數列與不等式的解答題為：

數）的圖像上。

（1）求r的值；

（2）當b=2時，記b =2(log a +1)(n∈N )，證明：對任意的n∈N ，不等式 #8226; #8226;…#8226; > 成立。

該題主要考查了等比數列的定義、通項公式，以及已知S 求a 的基本題型，并運用數學歸納法證明與自然數有關的命題，以及用放縮法、構造函數法證明不等式。

解：（1）由題意S =b +r，

當n≥2時，S =b +r，

∴a =S -S =b (b-1)。

由于b>0且b≠1，

∴n≥2時，{a }是以b為公比的等比數列。

又a =b+r，a =b(b-1)，

∴ =b，即 =b，

∴r=-1。

（2）法一：（數學歸納法）由（1）可知a =2 ，

∴b =2n(n∈N )，

所證不等式為 #8226; #8226;…#8226; > 。

①當n=1時，左邊= > =右邊，

∴n=1時不等式成立。

②假設n=k時，不等式成立，即 #8226; #8226;…#8226; > 。

當n=k+1時，

#8226; #8226;…#8226; #8226; > #8226; = = > = 。

∴n=k+1時不等式成立。

由①②可知，n∈N 時，不等式 #8226; #8226;…#8226; > 成立。

法二：（放縮法）

所證不等式為 #8226; #8226;…#8226; > 。

事實上：

#8226; #8226;…#8226; = #8226; #8226;…#8226; > #8226; #8226;…#8226; = (2n+2)> 。

或者：令T = #8226; #8226;…#8226; ，T ′= #8226; #8226;…#8226; 。

∴T>T #8226;T ′= #8226; #8226; #8226; #8226;…#8226; #8226; = =n+1，

∴T > 。

對任意n∈N ，不等式 #8226; …… > 成立。

法三：（構造函數法）

令T = ，則T = ，

∴ = = >1，

∴T >T ，即T 為增函數。

∴T >T = >1，即T = >1，

#8226; #8226;…#8226; > 。

對任意n∈N ，不等式 #8226; … > 成立。