新課程“古典概型”教學的感悟

摘 要： 概率問題與實際聯(lián)系緊密，教師應(yīng)準確把握古典概型的教學大綱，熟悉“古典概型”的知識結(jié)構(gòu)，借助列表法、圖解法等列舉法，明確題意，數(shù)形結(jié)合，尋求最佳正確的解決方法。

關(guān)鍵詞： “古典概型” 古典概率教學 列舉法

一、新課標對古典概率教學要求

教學大綱要求理解“古典概型”，掌握“古典概型”概率計算公式，把對“古典概型”的研究作為重點知識模塊。因文科新課程教材刪去排列、組合的有關(guān)章節(jié)，在利用等可能事件的概率公式計算概率時，不能用排列組合知識，所以把計數(shù)的方法局限于列表法、樹形圖，強化它們在解決“古典概型”中的作用。教師應(yīng)培養(yǎng)學生養(yǎng)成用列舉法解決“古典概型”的意識，教會學生學好如何運用列舉法去計算一些隨機事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率。運用列舉法計算“古典概型”是概率模塊教學的難點。

二、古典概型的知識結(jié)構(gòu)

1.“古典概型”滿足基本事件的有限性和基本事件發(fā)生的等可能性這兩個重要特征。

2.“古典概型”的概率公式：

事件A包含的基本事件的個數(shù)

3.求古典概率的一般步驟：

（1）弄清題目的背景材料；

（2）判斷是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A；

（3）分別求出基本事件的個數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個數(shù)m；

（4）用公式P（A）=m/n求出事件A的概率。

三、例題精選、解析

列舉法在解決“古典概型”的實際應(yīng)用中起到關(guān)鍵性作用，可使許多復(fù)雜的實際問題迎刃而解。下面筆者運用“列舉法”（列表法、樹形圖、圖解法）來解決幾個典型的概率問題。

例1：齊王與田忌賽馬，田忌的上馬優(yōu)于齊王的中馬，劣于齊王的上馬；中馬優(yōu)于齊王的下馬，劣于齊王的中馬；下馬劣于齊王的下馬。現(xiàn)各出上、中、下三匹分組進行比賽，如果雙方均不知對方馬的出場順序，探求田忌獲勝的概率。

解：此題可通過列表如下：

由上表可知：田忌勝的概率為1/6。

例2：用紅、黃、藍三種顏色給3個矩形隨機涂色，每個矩形只涂一種顏色，求3個矩形顏色都不同的概率。

解：用樹形圖表示如下：

紅紅紅黃藍黃紅黃藍藍紅黃藍黃紅紅黃藍黃紅黃藍藍紅黃藍藍紅紅黃藍黃紅黃藍藍紅黃藍

可見所有可能的基本事件有27個，記“3個矩形顏色都不同”為事件A，事件A的基本事件有2×3=6個，故P（A）=6/27=2/9。

例3：同時擲相同的兩枚硬幣，觀察正、反面出現(xiàn)的情況，出現(xiàn)兩正一反的概率為1/4，對嗎？

解：不對。應(yīng)注意所有結(jié)果必須是等可能的，所有可能的基本事件應(yīng)是8種，而不是4種。即（正、正、正），（反、反、反），（反、正、反）、（正、反、反）、（反、反、正），（正、正、反）、（正、反、正）、（反、正、正）。記“出現(xiàn)兩正一反”為事件A，P（A）=3/8。

例4：拋擲兩顆骰子，求點數(shù)之和大于5小于10的概率。

解：可借助直觀圖解決，作圖如下：

記“點數(shù)之和大于5小于10”為事件A。如圖，事件A包含有20個基本事件，即（1，5），（1，6），（2，4），（2，5），（2，6），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（6，1），（6，2），（6，3），故P（A）=20/36=5/9。

例5：甲、乙兩人擲骰子打賭，甲、乙各擲一次為一個回合，擲骰子的過程按照一個回合一個回合的順序進行，贏家獲得全部賭金。兩人約定，到某個回合如果甲累計擲出三次“6點”，而乙未擲出三次“4點”，則甲為贏家；反之，如果乙方累計擲出三次“4點”而甲方未擲出三次“6點”，則乙為贏家；如果甲累計擲出三次“6點”，并且乙擲出三次“4點”，則這個回合不計，退回到上一個回合的基礎(chǔ)上繼續(xù)擲骰子，直到分出輸贏。擲骰子若干次后，甲累計擲出兩次“6點”，乙累計擲出一次“4點”，這時游戲因故不能繼續(xù)進行，問在這種情況下如何合理分配這些賭金？

解：（方法1）記甲為事件A，若甲擲6點發(fā)生，則甲必贏，所以甲的概率為1/6；若甲擲非6點而乙擲4點，則“6點”和“4點”各累計出現(xiàn)2次，這時甲、乙又站到了平等的起點上，他們成為贏家的機會相等，于是甲贏的概率為（5/6）×（1/6）×（1/2）；若如果“6點”和“4點”都未發(fā)生，則甲、乙又回到打賭中斷時的狀態(tài)，于是得到P（A）=（1/6）+（5/6）×（1/6）×（1/2）+（5/6）×（5/6）×P（A），解得P（A）=17/22。

P（A）=（1/6）+（5/6）×［（1/6）×（1/2）+（5/6）P（A）］，解得P（A）=17/22。

因此，這個問題合理的分配方案為：甲方得全部賭金的17/22，乙方得全部賭金的5/22。

求解概率問題靈活多變，事件的可能結(jié)果繁多，用圖解法、列舉法，可避免遺漏出錯，數(shù)形結(jié)合是解題的首選。

參考文獻：

［1］田截今，張唯一，朱立軍.擲骰子與概率的起源.數(shù)學教學參考，2006.4.